Guía Derivadas 1

Guía N°2 de trabajo en Aula
Docente:
Tema: Derivadas y sus aplicaciones.

Luis Orellana

Unidad de Aprendizaje N° 2: Derivadas y sus aplicaciones.
Aprendizajes Esperados

1.- Establece problemas de derivada y contextualización de situaciones cotidianas de razón de cambio
instantánea, a través soluciones de ejercicios y problemas.
2.- Determina las técnicas básicas del cálculo diferencial paramodelar y resolver problemas de optimización,
geometría, física y de ingeniería

Objetivo:





Determina derivada de funciones explicitas e implícitas, algebraicas y
trascendente, aplicando propiedades de derivadas.
Asocia derivadas de orden superior, con derivaciones sucesivas.
Clasifica el comportamiento de una función y su representación gráfica mediante
derivadas.
Resuelve problemas deoptimización y aproximaciones, con derivadas en
contextos relacionados con las ciencias.

Material específico

Calculadora; Software Graficador

ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN
Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II
Código: EEMA01

Introducción:
La Derivada de una función es uno de los conceptos fundamentales del Cálculo diferencial. Es de vital
importancia dominar la derivación paraabordar posteriormente el análisis de curvas en el Cálculo Integral.
Se ha estudiado en Matemática I la función lineal, y con ella el concepto de pendiente y su equivalencia con
la tangente del ángulo de inclinación de dicha recta. Ahora estudiaremos el caculo de la pendiente en
diferentes puntos de una curva.

Concepto de Derivada.
Consideremos la función y  f ( x ) y un punto A( x0 , f ( x0 )) de lacurva (como se muestra en la figura 1)
Si tomamos otro punto B de coordenadas (( x0  h ), f ( x0  h )) cuya coordenada en eje x es muy próximo a

x0 (con h muy pequeño). Si movemos el punto B sin salirse de la curva y acercándose al punto A, se
observa que la secante S tiende a convertirse en la tangente T(ver figura 2)

Figura 2
Por otro lado, podemos ver que el valor de h se hace cada vez máspequeño y tiende a cero cuando la recta
secante se convierte en la recta tangente.
2

ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN
Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II
Código: EEMA01

Si en la figura 1 determinamos la pendiente de la recta secante, tenemos:

m
m

y2  y1 f ( x0  h )  f ( x0 ) f ( x0  h )  f ( x0 )


; luego
x2  x1
x0  h  x0
h

f ( x0  h )  f ( x0 )
; además
h

m tg(  ) entonces tg(  ) 

f ( x0  h )  f ( x0 )
y como h
h

tiende a cero aplicamos límite.

lim
h 0

f ( x0  h )  f ( x0 )
. Si este límite existe, su valor corresponde a la derivada de
h

y lo anotaremos por:

dy
;
dx

d ( f ( x ))
;
dx

y';

y  f ( x ) en

f '(x)entonces podemos dar la siguiente

definición:

Definición: La derivada de una función

f '(x) = lim
h 0

f ( x ) en un puntox0 , denotada por f '(x) es.

f ( x0  h )  f ( x0 )
h

Siempre que el límite exista

Derivadas por definición ejercicios resueltos.
1. Hallar la derivada de la función f ( x )  x 2 , aplicando definición.

 x  h
lim 0
h 0

2

 x02

h

x  x0

x02  2 x0 h  h 2  x02
2 x h  h2
h( 2 x0  h )
 lim 0
 lim
 lim( 2 x0  h )  2 x0
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h

 lim

luego f '(x)=2 x0
Nota:en los siguientes ejemplos consideraremos x0  x

3

ÁREA ELECTRICIDAD, ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN
Asignatura: MATEMÁTICA APLICADA II
Código: EEMA01

2. Hallar la derivada de la función f ( x )  x3 , aplicando definición.

 x  h
lim
h 0

3

 x3

h

x3  3x 2 h  3xh 2  h3  x3
3x 2 h  3xh 2  h3
h( 3x 2  3xh  h 2 )
 lim
 lim

h 0
h 0
h 0
h
h
h

 lim

lim( 3x 2  3xh  h 2 )  3x2
h 0

luego f '(x)=3x 2

3. Hallar la derivada de la función f ( x )  cos( x ) , aplicando definición.

cos  x  h   cos( x )
cos( x )cos( h )  sen( x )sen( h )  cos( x )
 lim

h 0
h

0
h
h
 sen( x )sen( h )  cos( x )cos( h )  cos( x )
 sen( x )sen( h )
cos( x )(cos( h )  1 )
lim
 lim
 lim

h 0
h

0
h

0
h
h
h
sen( h )
(cos( h )  1 )
 sen( x )lim
 cos( x )lim
  sen(...