Guía Rápida Cálculo Ectorial

Guía Rápida de Cálculo Vectorial Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica - Zacatenco
Julio César Vera Hernández

Esta guía rápida tiene por objetivo sintetizar los principales resultados del curso de Cálculo Vectorial, por lo que deberá ser de gran utilidad a la hora de realizar los problemas de clase e, inclusive, los que se presenten en los exámenes ordinarios. Por favor, tengapresente que de ninguna manera se pretender suplir el contenido del libro de texto, por lo que su lectura concienzuda es imprescindible.

Denotemos por r = (x1 , . . . , xn ) = x1 e1 + . . . xn en ∈ Rn a un vector en un espacio n-dimensional real; si n = 3, entonces usaremos la notación x1 = x, x2 = y y x3 = z, y ˆ e1 = ˆ e2 = ˆ y e3 = k. i, j

1.

Álgebra de vectores

1. La suma a + b :=(a1 + b1 )e1 + · · · (an + bn )en 2. El producto por escalar ca := (ca1 )e1 + · · · (can )en , donde c ∈ R 3. El producto escalar a · b := a1 b1 + · · · + an bn ˆ 4. El producto cruz a × b = (a2 b3 − a3 b2 )ˆ + (a3 b1 − a1 b3 )ˆ + (a1 b2 − a2 b1 )k, para a, b ∈ R3 i j 5. Si v1 , . . . , vn−1 , w ∈ Rn , entonces el producto cruz u = v1 × · · · × vn−1 se define como 

    u · w := det  .  vn−1 En especial, si v1 , v2 ∈ R3 , entonces v1 × v2 es aquel vector v ∈ R3 tal que   v1 v · w = det v2  w para algún vector w ∈ R3 . 6. La norma del vector a, a := √ a·a 1

w v1 . . .



7. ∠(a, b) := arc cos aa·b b   a 8. a · b × c = det b, con a, b, c ∈ R3 c

2.

Geometría diferencial de curvas y cuerpo de Frenet-Serret

1. Área generada por a, b: Aa,b = a × b 2. Volumengenerado por a, b, c: Va,b,c = |a · b × c| 3. Curva (parametrizada por t): Si r : [t0 , t1 ] → R3 es una curva en el espacio, entonces ˆ r(t) = x(t)ˆ + y(t)ˆ + z(t)k i j está parametrizada por el parámetro t (“por el tiempo t”) 4. Vector velocidad: Si r es una curva, el vector velocidad en t0 se define como ˙ r(t0 ) := r(t0 + h) − r(t0 ) d r(t0 ) = l´ ım h→0 dt h
d ˙ dt r(t0 )

5. Vectoraceleración: Si r es una curva, vector aceleración se define como ¨(t0 ) := r 6. Propiedades de la derivación con respecto del parámetro: (a) (b) (c)
d dt (a d dt (a d dt (a

+ b) = · b) =

d dt a d dt a ·

+

d dt b d dt b d dt b d dt (ϕa)

b+a·
d dt b

× b) = a ×

+a×

(d) Si ϕ es una función del parámetro, entonces

=

d dt ϕa

d + ϕ dt a

7. Derivadas parciales: Si a = a(x1 ,. . . , xn ) es una función vectorial, entonces se define la derivada parcial de a con respecto a xi como el límite ∂ a(x1 , . . . , xi + h, . . . , xn ) − a(x1 , . . . , xi , . . . , xn ) a(x1 , . . . , xn ) := l´ ım h→0 ∂xi h si es que existe. 8. Propiedades de las derivadas parciales: satisfacen las mismas propiedades que las derivadas con respecto al parámetro. 9. Longitud de curva: Sea r : [t0, t1 ] → R3 una curva; la longitud de curva del punto t0 al punto t1 está dada por
t1

L(t0 , t1 ) = L[r] :=
t0

˙ r(t) dt

10. Cuerpo de Frenet-Serret: Sea r : [t0 , t1 ] → R3 y sea s su longitud de curva; 2

(a) el vector tangente T se define por T :=

d ds r

=

dt ˙ ds r d ds T,

(b) el vector normal principal N se define por κN := (c) el vector binormal B se define como B :=T × N.

donde κ =

d ds T

es la curvatura de la curva y ρ := κ−1 es el radio de curvatura.

(d) las fórmulas de Frenet-Serret son el conjunto de ecuaciones d T = κN, ds d N = τ B − κN, ds d B = −τ N, ds donde a τ se le conoce como la torsión de la curva, y σ := τ −1 es el radio de torsión. 11. Sistemas coordenados. Sistema Cartesiano Cilíndrico Esférico x x ρ cos θ r sen θ cos ϕ y y ρ senθ r sen θ sen ϕ z z z r cos θ dS dxdy o dxdz o dydz ρ dρdθ R2 sen θ dθdϕ dV dxdydz ρ dρdθdz r2 sen θ drdθdϕ Rangos x, y, z ∈ R 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π, z ∈ R 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

z
(ρ, φ, z)

z
(r, θ, φ)

r θ y φ ρ x
Figura 1: Sistema cilíndrico

y φ x
Figura 2: Sistema esférico

3

3.

Funciones, límites, continuidad y diferenciación

Topología de Rn
1. Una...