Guía

“TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS”

DEFINICIÓN
Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica, solo puede cambiarse de posición.

Entre las transformaciones isométricas están:

1) Las traslaciones
2) Las simetrías o reflexiones
3) Las rotaciones

1. TRASLACIONES
Una traslación esel movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, manteniendo su forma y su tamaño.

ELEMENTOS:

1) Dirección: horizontal, vertical u oblicua.
2) Sentido: derecha, izquierda, arriba o abajo.
3) Magnitud: Es la distancia que existe entre la posición inicial y la final de cualquier punto de la figura que se desplaza.

Ejemplo 1: Se da el segmento AB con coordenadasA( 1,2) y B ( 6,-2 ) . Apliquemos la traslación según el vector (2,- 3) resulta el segmento A’B’. Donde:




Observación: Si al punto P (x, y), se le aplica una traslación (a, b), P’ imagen de P estará dada por:
P’ ( x + a, y + b ).














Ejemplo 2: Se da el triángulo de vértices A( - 4, 2) B( 3, -5 ) y C( 7,8) .Se traslada el triángulo según el vector (2,3)obteniéndose el triángulo A’B’C’.¿ Cuáles son las coordenadas de los vértices de este nuevo triángulo.



2.- SIMETRÍAS ( o REFLEXIONES )
Podemos considerar una simetría como aquel movimiento que, aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo.

A) REFLEXIÓN RESPECTO DE UN EJE ( O SIMETRÍA AXIAL): Una reflexión de una figura geométrica respecto de un eje llamado eje desimetría, es el movimiento que transforma la figura, de manera que cada punto P y su imagen o simétrico P’ equidisten del eje de simetría y el segmento PP’ sea perpendicular al eje de simetría.

Ejemplo: La fig 1 ha sido reflejada respecto de la recta L para obtener la fig 2. El punto P’ es el simétrico del punto P y se cumple: PM  P’M y PP’  L



B) REFLEXIÓN RESPECTO DE UN PUNTO (SIMETRÍACENTRAL) Una reflexión de una figura respecto de un punto O es el movimiento que transforma cada punto P de la figura original en el punto P’ ,de modo que O es el punto medio del segmento PP’.








Ejemplo: El segmento AB se ha reflejado respecto del punto O y se ha obtenido el segmento A’B’. A’ es la imagen del punto A y B’ es la imagen del punto B. Podemos observar que esta reflexiónes equivalente a la rotación del segmento AB en un ángulo de 180 en torno al punto O.


EJES DE SIMETRIA DE UNA FIGURA GEOMETRICA
Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje esta se mantiene invariante, es decir, no cambia, diremos que ese es un eje de simetría de la figura.

Ejemplos:




REFLEXIONES EN EJES COORDENADOS
En un sistema de ejes coordenados,al reflejar una figura en torno a uno de estos ejes, a cada punto P de la figura le corresponde un punto P’ de modo que sus coordenadas están relacionadas dependiendo del eje de simetría.

EN TORNO AL EJE X
Si el eje de simetría es el eje X entonces el punto simétrico del punto P(a, b) tiene por coordenadas P’(a, -b).

Ejemplo: Los puntos A, B, C tienen por coordenadas A( 2, 3) B(4, -2)y C(-5, 1). Los puntos A’ (2, -3) B’ (4, 2) y C’ (-5, -1) son los simétricos de los puntos A, B y C.








EN TORNO AL EJE Y
Si el eje de simetría es el eje Y, entonces el punto simétrico del punto P (a, b) tiene por coordenadas P’(-a, b)

Ejemplo: Los puntos A’(-2,3) , B’(-4,-2) y C’(5,1) son los puntos simétricos con respecto al eje Y de los puntos A(2,3) ,B(4,-2) yC( -5,1) respectivamente.


EN TORNO AL ORIGEN
Si la reflexión se efectúa en torno al origen, entonces el simétrico del punto P de coordenadas (a, b) es el punto P’ de coordenadas (-a, -b )

Ejemplo: M y M’ son puntos simétricos respecto al origen. Las coordenadas de M son (-3,-2) y las de M’ son ( 3, 2)


EJERCICIOS DE ISOMETRIAS
I.TRASLACIONES

1) Al segmento AB cuyas...