Gu A1numerosreales

MAT 112 - Algebra I
Gu´ıa N◦ 1 - N´
umeros reales
1. Sea a ∈ R. Demuestre que:
a) 0 < a < 1 ⇒ a2 < a
b) 0 < a < 1 ⇒ a2 < 1
c) a ≥ 1 ⇒ a2 ≥ a
d ) a ≥ 1 ⇒ a2 ≥ 1
2. Sean a, b ∈ R. Demuestre que:
a) (a > 0 ∧ b > 0 ∧ a + b = 1) ⇒ (ab ≤ 14 )
b) [a > 0 ∧ b > 0 ∧ a + b = 1] ⇒ [a2 + b2 ≥ 12 ]
c) 2a + 4b = 1 ⇒ a2 + b2 ≥
√
d ) a > 0 ∧ b > 0 ⇒ ab <

1
20
a+b
2

e) (a > 0 ∧ b > 0) ⇒ ( a1 + 1b ) · (a + b) ≥4
3. Decida si las siguiemtes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique
a) (∀a ∈ R)(−a ≤ 0)
√
b) (∀a ∈ R)( a2 = a)
c) (∀a ∈ R)(∀b ∈ R)(a2 + b2 ≥ 2ab)
√
d ) (∀a, b ∈ R+ )( a2 + b2 ≥ a + b)

4. Demuestre las siguientes proposicines:
9a2 4b3
a) Si a y b n´
umeros reales tal que a = 0 y b > 0, entonces 3 + 2 ≥ 12.
b
a
√
√
√
b) Si a y b son n´
umeros reales positivos, entonces a + b ≤ a + b.
c)Si a, b, c y d n´
umeros reales tales que a2 + b2 = 1 y c2 + d2 = 1, entonces ac + bd ≤ 1.
d ) Si a y b son n´
umeros reales positivos, entonces a3 b + ab3 ≤ a4 + b4 .
a+b √
e) Si a > 0 e b > 0 entonces
≥ ab. ¿En cuales casos se cumple la igualdad?.
2
5. Demuestre las siguientes proposiciones:
a) No existe x en R tal que x2 + x + 1 = 0.
1

b) La u
´nica soluci´
on de la ecuaci´
on x2 + xy + y 2 =0 es x = y = 0.
6. Determine los valores r en R para que 3 sea soluci´on de la ecuaci´on 4x2 − (r + 1)x + (2 − r) = 0.
7. Sea r en R y considere la ecuaci´
on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0.
a) ¿Para qu´e valores de r, la ecuaci´
on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0 tiene sus soluciones reales e iguales?
b) ¿Para qu´e valores de r, la ecuaci´
on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0 tiene una u
´nica soluci´onreal?
8. Encuentre todos los n´
umeros reales x que estan a distancia menor ´o igual que

1
2

del real −7.

9. Determine si la siguiente proposici´
on es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.
Los n´
umeros reales que est´
an a lo m´
as a distancia 2 del n´
umero 3 tambi´en est´
an a lo m´
as a distancia
3 del n´
umero 2.
10. Encuentre las dimensiones que puede tener una cancha, si no debe pasarde 88 metros de superficie y
su largo debe ser 3 metros m´
as que su ancho.
11. Encuentre el valor que pueden tener dos m´
ultiplos consecutivos de siete, si su producto debe ser mayor
que 294.
12. En cierto estanque se cr´ıan peces. Si se introducen n de ellos all´ı, se sabe que la ganancia de peso
promedio de cada pez es de 600 − 3n gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia totalde
todos los peces debe ser mayor que 28, 8 kilos.
13. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra 5000 pesos por corte. Por
cada incremento de 750 pesos en la tarifa, el peluquero piede 10 clientes. ¿Qu´e precio deber´a fijar de
modo que los ingresos semanales no sean menores de los que ´el obtiene por una tarifa de 5000 pesos?
14. Resuelva en R las siguientesecuaciones e inecuaciones:
a) |x + 1| = |2x + 3|
b) ||x| − 1| = 2x
c) 2x2 − 8x + 15 ≤ 0
x2 − 3x + 2
<3
x2 + 2x + 6
2x − 25
2x + 11
2
e) 2
+ 2
>
x + 2x − 3
x −1
x+3
f ) |x2 − 2x − 8| ≤ 70

d)

g) |x2 − |3 + 2x|| < 4
√
h) 2x − 1 > x2 − 3x + 2
√
√
√
i ) x + 6 − x + 1 > 2x − 5
j ) |x + 3| − 2|1 − x| ≥ 5 − x
k ) |3x + 2| ≤ |x + 1| + |2x + 1|

2

15. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas ofalsas. Si es verdadera debe justificar se˜
nalando ´el o los teoremas que desmuestran la afirmaci´on. Si es falsa de un contraejemplo.
a) Si a > 1, entonces a2 > a.
b) Si 0 < a < 1, entonces que a2 < a.
c) Si a < b, entonces que a2 < b2 .
d ) Si a > 0, entonces a−1 > 0
e) Para todo a y b en R, se cumple que ||a| − |b|| ≤ |a − b|
f ) Si a y b son n´
umeros reales entonces, |a + b| = |a| + |b| si ys´olo si ab ≥ 0.
16. ¿Se puede afirmar que las parejas de inecuaciones que se dan en cada caso, tienen el mismo conjunto
soluci´on?
2
≤ 4 y 2 ≤ 4(x − 3)
x−3
b) 16x2 ≤ 25 y 4x ≤ 5
√
c) x2 + 1 ≤ 2x − 3 y x2 + 1 ≤ (2x − 3)2

a)

d)

(x − 1)2 ≥ 3 y x − 1 > 3

17. Resolver las siguientes ecuaciones en R
a) |x2 + x − 12| = 1
b) |x2 + 1| = |x|
c) |x2 − 4| = |5 − x|
d) |x − 2| = −(x2 + 1)
√
e) | x2 − 4...