Gu A 004 Derivadas Fmm050

Gu´ıa 4.
Derivadas.
1. Utilizando propiedades y reglas de derivaci´on, obtenga f (x)
x+1
x−1
sin x
g) f (x) = 2
x
π
h) f (x) = + ln 2
x
√
1+ x
√
i ) f (x) =
1− x

a) f (x) = 2ex + ln x
sin x +cos x
b) f (x) =
sin x − cos x
c) f (x) = 3 cos x + 2 sin x
√
1
d ) f (x) = x − √
x
x
e · cos x
e) f (x) =
1 − sin x

f ) f (x) =

2. Derivaci´on de Funciones Compuestas. Regla de la cadena.
a)y = (x2 + 2x + 2)e−x
1 + sin x
b) y = ln
1 − sin x
c) y = (2x − 1)2 − 6 sin(5x)
x2 · ln(4x)
d) y =
e2x

e) y = sin2 (2x) + cos2 (2x)
f ) y = |3x − 5|
g) y =

xx
(xlnx − x − 1)
ex

h) y = x−x ·2x · x2

3. Demuestre que
a) y = xe−

x2
2

, satisface la ecuaci´
on xy − (1 − x2 )y = 0.

b) y = x sin x, satisface la ecuaci´
on x2 y − 2xy + (x2 + 2)y = 0.
c) y = xex , satisface la ecuaci´on xy = y − xy
d ) y = ex , satisface la ecuaci´
on y + xy − y = xex
4. Dada la funci´
on f (x) =
√
5. Si f (x) = 2 arctan

1 + sin(x)
. Hallar: f ( π6 ), f ( π6 ), f ( π6 )
1 − sin(x)

−x2 + 2x+ 3 −
x

√

3

. Demuestre que :f (x) = − √

−x2

1
+ 2x + 3

2x3
x2
6. Sea f (x) =
+
− x − 1. Hallar los puntos de la gr´afica de f en que la pendiente de la recta
3
2
tangente en ese punto seaigual a
7. Sea f (x) = x2 + ax + b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la grafica
de f en el punto de coordenadas (2, 4).

1

8. Calcular el ´
area del tri´angulo formado por el eje OY , la tangente y la normal a la curva y =
en el punto de coordenadas (5, 2).

√

9−x

9. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva x2 − 2xy + y 2 + 2x − 6 =0 , trazadas desde el
punto (−3, −7)
√
x
10. Sea f (2) = −3; f (x) = x2 + 5; g(x) = x2 · f x−1
. Hallar g (2).
11. Verificar que la funci´
on y = sin(ln x) + cos(ln x) satisface la ecuaci´on
x2y + xy + y = 0
12. Sea f (x) = (αx − 2)2 + 3, con α ∈ R. Encuentre el valor de α tal que f (1) = −2
13. Verifique si la funci´
on y = x · e3x , satisface la ecuaci´on
y − y − 6xe3x = 0

2...