GU A 3 INTRODUCCI N AL C LCULO

UNIVERSIDAD DE SONORA
LICENCIATURA: QUÍMICO
CURSO: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
IMPARTIDO POR: M.C. JOSEFINA TORRES O.

PROBLEMARIO PARA EL TERCER EXAMEN PARCIAL
Variación (RAZÓN ó tasa) Promedio y Variación instantánea

EJEMPLOS SOBRE VARIACIÓN PROMEDIO







2. Se registraron las lecturas de temperatura (en grados Celsius) cada hora, a partir de la media noche, en un díade abril, en Whitefish, Montana. El tiempo x se mide en horas a partir de la media noche, los datos se dan en la siguiente tabla:
X(h)
T(°C)
X(h)
T(°C)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6.5
6.1
5.6
4.9
4.2
4.0
4.0
4.8
6.1
8.3
10.0
12.1
14.3
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24


16
17.3
18.2
18.8
17.6
16.0
14.1
11.5
10.2
9.0
7.9
7.0



Encuentre la razón de cambio promedio desde: a) el mediodía hasta las3:00 PM, b) Desde el mediodía hasta las 2 PM; c) Desde el mediodía hasta la 1 PM;

SOLUCIÓN:
a) en tanto que el cambio en el tiempo es h por consiguiente la razón promedio de cambio es
b) 2.5 c) 1.7

RECUERDE QUE:
La pendiente de la recta secante se interpreta como razón promedio de cambio

La pendiente de recta tangente se interpreta como razón instantánea de cambio



En la figura semuestran rectas tangentes, y el signo de su pendiente m.
RECUERDE TAMBIÉN QUE LA PENDIENTE DE RECTA TANGENTE TIENE OTRA NOTACIÓN, ESTO ES, COMO LA FUNCIÓN DERIVADA: EJEMPLO Y’.
EJERCICIOS PROPUESTOS QUE INVOLUCRAN EL CÁLCULO DE RAZONES DE CAMBIO PROMEDIO Y RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA (TASA, ÍNDICE, VELOCIDAD, ETC)
1 .Un móvil se mueve con trayectoria dada por s = t2 +3. Hallar las velocidadespromedio del móvil, cuando t cambia de:
a. 0 a 1.
b. 0 a 2.
c. 2 a 5.
d. 2 a 10.
e. x0 a x0 + 1.
2. Un móvil se mueve con trayectoria dada por s = 3t2 5t + 3. Hallar las velocidades promedio del móvil, cuando t cambia de:
a. 0 a 1.
b. 0 a 2.
c. 2 a 5.
d. 2 a 10.
e. x0 a x0 + 1.
3. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de
M(t) = gramos después de t horas.
(a) ¿Cuánto creciódurante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01?
(b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo de 2 ≤ t ≤ 2.01?
(c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t = 2?
Una ciudad es golpeada por una epidemia de gripe asiática. Las estimaciones oficiales son que el número de personas enfermas de gripe t días después del comienzo de la epidemia está dado por p(t) = 120t² -2t³, siendo 0≤ t40. ¿Cuál es el índice de
Difusión de enfermedad en el momento t = 10, t = 0, t = 40?

5. Se usa un monitor cardíaco para medir la frecuencia cardíaca de un paciente después de una cirugía. Este recopila el número de latidos cardíacos después de t minutos. Cuando se sitúan los datos de la tabla en una gráfica la pendiente de la recta tangente representa el número de latidos por minuto
tiempo
36
3840
42
44
Latidos
2530
2661
2806
2948
3080

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardíaca del paciente, después de 42 minutos, usando la recta secante entre los puntos:
a) t=36 y t=42 b) t=38 y t=42 c) t=40 y t=42 d) t=42 y t=44
¿Cuáles son sus conclusiones?
6. Un depósito contiene 1000 galones de agua que se drenandesde la parte inferior en 30 minutos. Los valores que aparecen en la siguiente tabla, representan los valores del volumen V de agua que resta en el depósito (en galones) una vez que transcurren t minutos :
t(min)
5
10
15
20
25
30
V(galones)
694
444
250
111
28
0

a) Sea P(15,250) en la gráfica de V, encuentre la pendiente de las rectas secantes PQ, cuando Q es el punto en la gráfica para t en5,10,20,25 y 30 minutos
b) Estime la pendiente de una recta tangente en P promediando las pendientes de dos rectas secantes

7. En la tabla se da la población P(en miles) de la ciudad de San José, California, desde 1991 a1997, con intervalos de 2 años.
Año
1991
1993
1995
1997
P
793
820
839
874
Encuentre la tasa promedio de crecimiento:
a) De 1991 a 1995
b) De 1993 a 1995
c) De 1995 a 1997...