Gu A De Estudio N 4 Funciones 1

UCV-INGENIERIA

CALCULO I

Guía de Estudio Nº 4
Ejercicios propuestos sobre funciones reales de variable real
1.- Dada la función f (=
x)
a) f ( −4 ) ,

c) f ( a − 1 ) ,

b) f ( 0 ) ,

R: a) 2 5 , b) 2, c)

x 2 + 4 calcular

a 2 − 2a + 5 , d)

d) f ( a − h ) , e)

f (a + h)− f (a)
h

a 2 − 2ah + h 2 + 4 , e)

(

2a + h
a + 2ah + h 2 + 4 + a 2 + 4
2

)

2.- Calcular el dominio de cada una de lassiguientes funciones
x+2
R: Df =∈
a) f ( x ) =
{x R / x ≠ 2}
2
( x − 2)
x
b) f ( x ) =
R: Df= { x ∈ R / x ≠ −1 y x ≠ 1 }
1− x
c) f ( x=
)

4 − x2

R: Df : x ∈ [ −2 ,2]

d) f ( x ) =
− 7 x − x2

R: Df : x ∈ [ 0,7]

e) f ( x ) =

R: Df : x ∈ R

3

6 − 2 x − x2

x 2 − 25
x−6
 x +1 
g) f ( x ) = ln 

 ( x − 1) 2 



R: Df : x ∈ ( −∞ , −5) ∪ [5,6 ) ∪ ( 6, +∞ )

 x2 + 1 
h) f ( x ) = ln 

x+2 



1 − 5  1 + 5
R: Df : x ∈  −2 ,
,+ ∞ 
∪
2   2


R: Df : x ∈ [1,2]

f) f ( x ) =

=
i) f ( x )

arcsen( x − 1 )

R: Df : x ∈ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )

3.- En cada caso determine si las funciones dadas son pares, impares o ninguna de las dos.
a) f ( x ) = x + 1 − x − 1
R: impar
b) f ( x=
) e x + e− x
c) f ( x=
) x3 + x2

R: par
R: ni par ni impar

d) f ( x=
)

R: par

9 − x4
x
e) f ( x) =
1+ x
f) f=
( x ) sen x + cos x

R: impar
R: ni par ni impar

Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real

UCV-INGENIERIA

CALCULO I

4.- Construya la gráfica de una función impar, periódica de período 4, sabiendo que
R:

5.- Grafique cada una de las funciones dadas a continuación
a)

,

e)

, f)

b)

i)

,

c)

, g)

, d)
, h)

j)

6.- Dada la función definida por

a) Construir su gráfica
b)Diga si la función es par, impar o ninguna de ellas
Rta:
a)

Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real

b) La función es par

UCV-INGENIERIA

CALCULO I

7.- En cada uno de los siguientes ejercicios dadas f ( x ) y g( x ) determine si pueden
componerse para hallar ( f  g )( x ) y ( g  f )( x ) . En caso afirmativo determine su regla
de correspondencia y su dominio.
a) f ( x ) =
2 x 2 + 6, g( x) =
7x + 2
R: Si se pueden componer en ambos casos. ( f  g )( x ) = 98 x 2 + 56 x + 14 ; ( g  f )( x ) = 14 x 2 + 44
D f g =
x ∈ R; Dg  f =
x∈R
b) f (=
x)

2
, g(=
x)
x −1

2x − 3

2
R: Si se pueden componer en ambos
casos. ( f  g )( x ) =
=
; ( g  f )( x )
2x − 3 −1
3 
 7
D f  g= x ∈  ,2  ∪ ( 2 , +∞ ) ; Dg  f = x ∈  1, 
2 
 3

c) f ( x=
)

x 2 + 2 , g( x=
)

7 − 3x
x −1

x2 +1 + 1

R: Se pueden componer en ambos casos. ( f  g )( x )=

x 2 + 4 + 2 x 2 + 1 ; ( g  f )( x )=

x2 + 3 + 1

D f g =
x ∈ R; Dg  f =
x∈R
d) f ( x ) = x , g( x ) =

−x −1
R: Se pueden componer para hallar ( f  g )( x ) =
− x − 1 ; no pueden componerse para ( g  f )( x )
2

D f  g= x ∈ ( −∞ , −1]
8.- Dadas g ( x ) y ( g  f )( x ) hallar f ( x )

2 x − 1 y ( g  f )( x ) =
−2 x 2 + 3 x − 1a) g ( x ) =

x + 5 y ( g  f )( x ) =
x 2 + 13x + 40
b) g ( x ) =

3
x
2
R: f ( x ) =x 2 + 13x + 35

R: f ( x ) =
− x2 +

9.- Dadas f ( x ) y ( g  f )( x ) hallar g( x )

a) f ( x ) =
x + 1 y ( g  f )( x ) =
cos ( x 2 − 1)
 x + 1
b) f ( x ) =
x 3 − 1 y ( g  f )( x ) =
ln 
 x − 1 

R:=
g ( x ) cos  x 2 − 2 x 
 3 x + 1 + 1
R: g ( x ) = ln  3

 x + 1 − 1

9.- Dada f ( x ) =−3 + x2 − 2 x
a) Determine si es inyectiva
b) Restrinja el dominio, si es necesario, para que admita inversa y obtenga su regla de
correspondencia y dominio.
c) Si ( g  f )( x ) = e(

x −1)

2

, halle la regla de correspondencia de g(x)

Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real

UCV-INGENIERIA

CALCULO I

Rta: a) La función no es inyectiva, b) Para que la función admita inversa se puederestringir
el dominio tomando x ∈ [ 2 , +∞ ) , f −1 ( x ) =1 + 1 + ( x + 3) =1 + x 2 + 6 x + 10 ,
2

Df −1 =

[ −3,+∞ ) ,

2
c) g ( x ) = e x +6 x +10

ex
10.- Dada h ( x ) =
1 + ex
a) Compruebe que es inyectiva
b) Halle su inversa
Rta: a) la función es inyectiva, b)

 −x 
h −1 ( x ) = ln 

 x −1

11.- En cada caso determine si la función dada es o no inyectiva y en caso afirmativo halle
su función...