Gu A N Meros Complejos
Páginas: 2 (328 palabras)
Publicado: 29 de julio de 2015
Guı́a de Ejercicios
Números Complejos
Clasifique los siguientes números según el (los) conjunto(s) al (los) que pertenece(n):
Número
3,45
−6
4
1
2
√5
7
−3 + 4
Natural
Entero
Racional
IrracionalReal
Imaginario Complejo
1. Muestre, mediante ejemplos, que los números complejos cumplen las propiedades:
a) Para la suma: Asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento inverso.
b) Para lamultiplicación: Asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento inverso y
Distributiva sobre la suma.
2. Demuestre formalmente que los complejos cumplen las propiedades anteriores.
3. Realice lasoperaciones que se indican:
,
a)
+ − ,
√2, −3 − −√2, 3
b)
c) [1 − 3 ][2 + 5 ]
d) [−5 − 2 ][3 − 7 ]
e)
f)
(
( ,
)
,
)
g) (2 − 3 )
h)
i)
+
−
−
+
−
−
j)
−
k)
4. Resuelva las ecuaciones:a) (−3,4) + (1, −1) = (−3,3)
( , )
b)
+ =3
c)
5. Si
=
= (−1, 2)
√
√
+
√
√
, halle:
̅
a)
b)
6. Demuestre que ∀ ∈ ℂ:
a)
+ ̅ es siempre un número real
b)
− ̅ es siempre un númeroimaginario
c)
= ̅
d) ‖ ‖ = ‖− ‖
e) ‖ ‖ = ‖ ̅‖
7. Sean
y
dos números complejos. Demuestre que:
+
a)
=
+
=
b)
∙
c)
=
∙
8. Utilizando números complejos, calcule:
a)
√
+
√
b) √−50 + 2√−32
c) √−3− 2√−48
d)
√
√
√
√
9. Un estudiante insiste en que 1 = -1. Para “demostrarlo”, expone el siguiente desarrollo:
1
−1
=
−1
1
Luego:
1
=
−1
−1
1
Luego:
√1
√−1
=
√−1
√1
Luego:
1
√−1
=
√−1
1Luego:
1
=
1
Luego:
1=
Finalmente:
1 = −1
¡Determine dónde está el error y explique!.
Respuestas
3. Realice las operaciones que se indican:
,
a)
+ − ,
=
,1
√2, −3 − −√2, 3 = 2√2, −6
b)
c)[1 − 3i][2 + 5i] = 17 − i
d) [−5 − 2i][3 − 7i] = −29 + 29i
=
e)
f)
(
)
,
( ,
)
−
i
= − ,−
g) (2 − 3i) = −46 − 9i
h) i
i)
+i
i
−i
−
j)
−i
−i
= −1 + i
= −1
= −2 − 2i
−
k)
+i
= −1 +2i
4. Resuelva las ecuaciones:
a) (−3,4) + (1, −1) = (−3,3). Respuesta: = −
b)
( , )
+ = 3. Respuesta: = 5 −
c)
5. Si
= (−1, 2) . Respuesta: = − −
=
√
a)
̅ =
b)
=
√
+
√
√
, halle:...
Números Complejos
Clasifique los siguientes números según el (los) conjunto(s) al (los) que pertenece(n):
Número
3,45
−6
4
1
2
√5
7
−3 + 4
Natural
Entero
Racional
IrracionalReal
Imaginario Complejo
1. Muestre, mediante ejemplos, que los números complejos cumplen las propiedades:
a) Para la suma: Asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento inverso.
b) Para lamultiplicación: Asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento inverso y
Distributiva sobre la suma.
2. Demuestre formalmente que los complejos cumplen las propiedades anteriores.
3. Realice lasoperaciones que se indican:
,
a)
+ − ,
√2, −3 − −√2, 3
b)
c) [1 − 3 ][2 + 5 ]
d) [−5 − 2 ][3 − 7 ]
e)
f)
(
( ,
)
,
)
g) (2 − 3 )
h)
i)
+
−
−
+
−
−
j)
−
k)
4. Resuelva las ecuaciones:a) (−3,4) + (1, −1) = (−3,3)
( , )
b)
+ =3
c)
5. Si
=
= (−1, 2)
√
√
+
√
√
, halle:
̅
a)
b)
6. Demuestre que ∀ ∈ ℂ:
a)
+ ̅ es siempre un número real
b)
− ̅ es siempre un númeroimaginario
c)
= ̅
d) ‖ ‖ = ‖− ‖
e) ‖ ‖ = ‖ ̅‖
7. Sean
y
dos números complejos. Demuestre que:
+
a)
=
+
=
b)
∙
c)
=
∙
8. Utilizando números complejos, calcule:
a)
√
+
√
b) √−50 + 2√−32
c) √−3− 2√−48
d)
√
√
√
√
9. Un estudiante insiste en que 1 = -1. Para “demostrarlo”, expone el siguiente desarrollo:
1
−1
=
−1
1
Luego:
1
=
−1
−1
1
Luego:
√1
√−1
=
√−1
√1
Luego:
1
√−1
=
√−1
1Luego:
1
=
1
Luego:
1=
Finalmente:
1 = −1
¡Determine dónde está el error y explique!.
Respuestas
3. Realice las operaciones que se indican:
,
a)
+ − ,
=
,1
√2, −3 − −√2, 3 = 2√2, −6
b)
c)[1 − 3i][2 + 5i] = 17 − i
d) [−5 − 2i][3 − 7i] = −29 + 29i
=
e)
f)
(
)
,
( ,
)
−
i
= − ,−
g) (2 − 3i) = −46 − 9i
h) i
i)
+i
i
−i
−
j)
−i
−i
= −1 + i
= −1
= −2 − 2i
−
k)
+i
= −1 +2i
4. Resuelva las ecuaciones:
a) (−3,4) + (1, −1) = (−3,3). Respuesta: = −
b)
( , )
+ = 3. Respuesta: = 5 −
c)
5. Si
= (−1, 2) . Respuesta: = − −
=
√
a)
̅ =
b)
=
√
+
√
√
, halle:...
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