Guccione

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ALGEBRA
Grupos Anillos y M´odulos

Jorge Alberto Guccione
y

´ Guccione
Juan Jose

´Indice general

1

Grupos

1

Cap´ıtulo 1. Teor´ıa elemental
1
Monoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Submonoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Morfismos de monoides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Subgrupos de un grupo c´ıclico . . . . . . . . . . . . . .
6
Coclases a izquierda y a derecha . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Productos de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Coclases dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Subgrupos normales . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Una caracterizaci´on de los grupos c´ıclicos finitos. . . . . . . . . .
11 Morfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Estructuras en el conjunto de los morfismos de un grupo en otro
12 N´
ucleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Cocientes de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Grupos libres ypresentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1 Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Presentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1 Producto directo interno . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Producto directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Producto directo restringido . . . . . . .. . . . . . . .
15.4 Morfismos entre productos directos finitos de grupos . . . . .
16 Producto semidirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1 Producto semidirecto interno . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Producto semidirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 Sucesiones exactas cortas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Indice general
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Cap´ıtulo 3. Acciones de grupos
Acciones y G-espacios . . . . . . . . . . . . .
N´
ucleo de una acci´on . . . . . . . . . . . . .
2.1
Subconjuntos estables y morfismos . . . . .
2.2
M´as ejemplos .. . . . . . . . . . . . .
´
2.3
Orbitas,
puntos fijos y estabilizadores . . . .
2.4
Contando ´orbitas . . . . . . . . . . . .
3
Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . .
3.2
Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . .
Aplicaciones a grupos de orden peque˜
no .
4
p-Grupos finitos . . . . . . . . . . . . . . .

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1
2
3
4
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6

Automorfismos interiores y subgrupos caracter´ısticos
18.1 Subgrupo conmutador y abelianizado . . .
18.2 El conmutador de dos subgrupos .. . . .
18.3 Subgrupos conjugados . . . . . . . . .
18.4 El normalizador y el centralizador . . . . .

Cap´ıtulo 2. El grupo sim´etrico
Estructura c´ıclica . . . . .
Generadores de Sn . . . .
El signo de una permutaci´on
Generadores de An . . . .
El conmutador y el centro de
Presentaciones de Sn y An .

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An
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