Gudelia

Mosaicos Matemáticos No. 11
Diciembre, 2003.

Nivel Superior

OPTIMIZACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA UTILIZANDO JMP IN
Gudelia Figueroa Preciado
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
Resumen
La metodología de Superficie de Respuesta es un conjunto de técnicas utilizadas en el estudio de la
relación entre una o más respuestas y un conjunto de factores o variables independientes ydonde el
objetivo es optimizar ésta(s) respuesta(s). Dicha metodología se realiza mediante una experimentación
secuencial, esto es, la aproximación a la región de interés se realiza de forma iterativa utilizando diseños
cada vez más complejos que dependen de la información que se obtiene en cada etapa. En la actualidad
hay varios paquetes estadísticos para analizar superficies de respuesta,algunos de estos específicamente
diseñados para ello. Sin embargo, existen versiones estudiantiles de paquetes estadísticos que permiten un
análisis muy completo de esta metodología, entre ellos el que en esta ocasión se presenta que es JMP IN 4
versión estudiantil, con el cual se analizará un problema de aplicación y se explicará cómo efectuar este
análisis.

La Metodología de Superficie deRespuesta (MSR), fue introducida por Box y Wilson [1] y es
una colección de técnicas que permite al investigador inspeccionar una respuesta, que se puede
mostrar como una superficie, cuando los experimentos investigan el efecto que tiene el variar
factores cuantitativos en los valores que toma una variable dependiente o respuesta; ejemplo de
esto puede ser estudiar cómo los valores de temperatura ypresión afectan la tasa de una reacción
química y tratar de encontrar los valores que optimicen esta respuesta. Esto es, se trata de
encontrar los valores óptimos para las variables independientes que maximizan, minimizan o
cumplen ciertas restricciones en la variable respuesta.
La representación matemática de los modelos de MSR puede ser de diversas maneras:
Un modelo de primer orden (lineal) sininteracciones o productos cruzados:
k

y = β 0 + ∑ β i xi + e .

(1)

i =1

El modelo lineal de primer orden con interacciones:
k

k

j −1

y = β 0 + ∑ β i xi + ∑∑ β ij xi x j + e ,
i =1

(2)

j = 2 i =1

y el modelo cuadrático o de segundo orden:
k

k

j −1

k

y = β o + ∑ β i xi + ∑∑ β ij xi x j + ∑ β ii x 2 + e ,
i =1

j = 2 i =1

(3)

i =1

donde e representa el ruido o error observado en larespuesta y.
En la metodología de superficie de respuesta se supone que la variable respuesta y está en
función de los niveles de los factores cuantitativos representados por las variables x1 , x 2 ,h , x k .
Los modelos polinomiales se utilizan como una aproximación a la función de respuesta real, y
generalmente son buenas aproximaciones cuando se trabaja en pequeñas zonas de los factorescuantitativos.

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G. FIGUEROA PRECIADO

Cuando se trabaja con dos factores y se utiliza el modelo lineal ajustado de primer orden
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 ,
(4)
la superficie de respuesta y sus curvas de nivel, que son las líneas con valores iguales de
respuesta, se podrían representar con las siguientes gráficas tomadas de un ejemplo donde los
factores son temperatura y tiempo y la respuestaes el rendimiento:

67.62 68.35

rendimiento

66.9

69.07 69.8

66.175

65.45
temperatura(160,170)

64.725

0

tiempo(50,60)

rendimiento

Si el modelo anterior lo convertimos en un modelo de segundo orden, el modelo ajustado
sería:
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 11 x12 + βˆ 22 x 22 + βˆ 12 x1 x 2 ,
(5)
y podría ser representado gráficamente de la siguiente manera:

rendimiento

70
68
66 6769

65
temperatura(160,170)

64
rendimiento

0
tiempo(50,60)

OPTIMIZACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA

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Es claro que las superficies de respuesta y las gráficas de contornos (curvas de nivel) pueden
tener, aparte de las anteriores, representaciones de un mínimo, una cresta elevada, una silla de
montar, etcétera.
En la fase inicial del estudio de una superficie de respuesta se trata de...