Gui a 3 Nu meros Naturales Induccio n A lgebra I 1 2015

Universidad Adolfo Ib´
an
˜ez
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias

MAT 112 - Algebra I
Gu´ıa N 3 - N´
umeros naturales - Sumatorias y Productorias

1. Considere la sucesi´
on an = 2n

1 , 8 n . Determine:

a) a1 , a2 , a50 , a100
b) ak , ak+1 , an+1
2. Sea {an } una sucesi´
on de n´
umeros reales dada por
an = ( 1)n+1 + n , 8 n
Determine:
a) a1 , a20 , a100 , a150
b) ak

1,

a2k , a2n

1

3. Sea{an } una sucesi´
on definida por:
3
3
a 1 = , an =
, n 2.
4
4 an 1
3
3
( es decir
a2 =
,
a3 =
, etc.)
4 a1
4 a2
Determine: a2 , a3 , a4 , a5 , a6
4. Sea an =

n
X

k=1

3
2k

1

Calcular:
a)

a1 , a3 , a4 , , an , an+1

b)

14
X

ai

i=1

5. Considere la sucesi´
on dada an para todo n 2 N y en cada caso determine:
a1 , a2 , a3 , an , an+1 , a2n
a) an =

1
n

n
2+n
1 1 1
1
c) an = 1 + + + + . . .+
2 3 4
n
d ) an = n
b) an =

e) an = 1 + 2 + 3 + . . . + n

1

6. Si q(n) : 1 + 2 + 3 + . . . + n =
p(n) : 12

7. Si

Determine

n(n + 1)
determine q(2), q(4), q(n + 1)
2

n(n + 1)
2
p(1), p(2), p(k), p(k + 3), p(k + 1), p(3n)
22 + . . . + ( 1)n

1

· n2 = ( 1)n+1

8. Sea {an } una sucesi´
on de n´
umeros dada por an = ( 1)n+1 + n para todo n 2 N . Determine:
a) a1 , a20 , a100 , a150
b) ak

1,a2k , a2k+1

9. Sea {an } una sucesi´
on de n´
umeros tal que a1 = 1 y para todo n > 1 se cumple que
an+1 = ( 1)n+1 + an . Determine a1 , a2 , a2n 1
10. Escriba usando el s´ımbolo
a) 3(n

2) + 4(n
2

P

las siguientes sumas:

3) + 5(n

4) + . . . . . . + (n

b) 1 + q + q + · · · + q

n

d) 1

. . . (n t´erminos).

1)2 + n

c) 1 + (x + 1) + (x + 1)2 + · · · + (x + 1)n
2+3

4+5

e) 5 + 9 + 13 + 17 +21 · · · (n t´erminos)

11. Sea p(n) : 1 · 2 + 2 · 3 + · · · · · · + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2)
3

a) Escriba p(1), p(2), p(3), p(4).
b) Exprese p(n) en t´erminos de sumatoria.
c) pruebe que p(n) se cumple para todos los naturales.
12. Dada la sucesi´
on de n´
umeros definida por:
a1 = 3 ; an+1 = an + 3(n + 1), n 2 N
a) Determine a2 , a3 , a4 , a5 .
b) Encuentre an .
13. Sea
p(n) : 5 + 8 + 11 +. . . + (3n + 2) =

n(3n + 7)
2

a) Escriba p(1) y pruebe que es una proposici´on verdadera.
b) Escriba p(k + 1) para alg´
un k 2 N

c) Suponga que p(k) es una proposici´
on verdadera para alg´
un k 2 N y pruebe que p(k + 1) es verdadera.

14. Calcule el valor de las siguientes sumas:

2

a)

n
X
3k

k=1

1

3k

1
3
2

Respuesta: 3n

b)

100 
X

k=3

2
k2

1

d)

⇤
1 n
3

1

+ ( 17)k
1
701Respuesta:

c)

⇥

1
3

+

1
700

1
2

+

99 
X
p
( 3)k + 2k p
+ k+1
k
k
5
k=49
h
i
3 49 5
3 51
Respuesta:
1
+
+
5
8
5
100
X

k=1

17701 173
18

2 49 5
5
3

h

1

1
1)(4k + 3)

(4k

Respuesta:

1
4

1
3

1
403

p
2k + 2
2k
p
e)
2
4k + 4k
k=2
q
⇣
⌘
2
Respuesta: 12 1
n+1
n
X

p

15. Calcule el valor de los siguientes productos:
✓
◆
32
Y
i+1
a)
3i
i
i=10
Respuesta: 323 (33 · 32 · 31 · · · 11)

b)

◆
n✓
Y
3(k + 1)2
2k k 2

k=1

Respuesta:

c)

2010
Y
k=1

3n (n+1)2
p
( 2)n(n+1)

( 1)k
5

Respuesta:

1
52010

16. Calcule las siguientes expresiones:
a)

j
n X
Y
5i+j

j=0 i=0

5i

Respuesta: 1 · 2 · 3 · · · (n + 1)5
b)

n X
n
X

n(n+1)
2

(i + 2j)

i=1 j=2

Respuesta:

3n3 +2n2 5n
2

3

2 51
5

i

+3

c)

20 2k
Y
Y1

2j

k=1 j=k

Respuesta: 21330
d)

n X
n
X
2j
i=1 j=2

3i

Respuesta:

e)

3
2

h1
3

1 n+1
3

✓ j ◆
100 Y
i
X
2
3
j+1
2
i=0 j=0
h
102
Respuesta: 2 32

3
2

i

(2n+1

22 )

i

17. Considere el siguiente arreglo de n´
umeros
3·2
32 · 2
33 · 2
..
.

3 · 22
32 · 22
33 · 22
..
.

3 · 23
32 · 23
33 · 23
..
.

···
···
...
..
.

3 · 2n
32 · 2n
33 · 2n
..
.

3m · 2

3m · 22

3m · 23

...

3m · 2n

a) Exprese la suma de todos los n´
umeros del arreglo anterior utilizando sumatorias.
b)Calcule el valor de la suma de todos los n´
umeros del arreglo anterior.
Respuesta: 3(3m 1)(2n 1)
18. Calcule las siguientes sumas:
a) S = r + r2 + r3 + . . . + rn
b) S = 1 + r + r2 + r3 + . . . + rn
c) S = r3 + r4 + r5 + . . . + r2n
d ) S = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n
e) S =

19. Calcule

1
3

n
X

+

1
32

1
33

+

+ ...... +

1
32n+1

( x)k , con x una constante.

k=1

20. Calcule

n
X

(...