Guia 1 mecanica vectores

Universidad Mayor
Facultad de Ingenier´ıa
Mec´
anica para la Ingenier´ıa I

Gu´ıa 1: Introducci´
on a la representaci´
on matem´
atica y Sistema de unidades
Primavera 2014
1. Considere el plano (x,y). Un vector M tiene magnitud 10 cm y forma un ´angulo de 30◦ con el
eje x. Se le suma un vector N de manera que la resultante tiene magnitud de 10 cm y forma un
´angulo de 60◦ con el eje x. Encontrarla magnitud de N y el ´angulo que forma con el eje y.

Respuesta: N = 5(1 −

√

√
3), 5( 3 − 1) . Forma un ´angulo de 45◦ con el eje y.

2. Un vector A tiene m´
odulo 10 y forma un a´ngulo de 60◦ conun vector B que tiene tama˜
no 6.
Determinar la magnitud del vector A − B y el ´angulo que forma con el vector A.

Respuesta: |A − B| =

√

76 y forman un ´angulo 0.63.

3. Considere los vectores A =2ˆ
x + 3ˆ
y + 4z y B = x
ˆ − 2ˆ
y + 3ˆ
z . Obtener: a) La magnitud de cada
vector; b) la magnitud de la suma y de la diferencia entre los vectores; c) el ´angulo que forman
A + B con A − B.Respuesta: a)|A| =

√

29, |B| =

√

14; b) |A + B| =

√

59, |A − B| =

√

27; c) Forman un ´angulo
1.19.

4. Se tienen tres vectores A, B y C. Muestre que A · (B × C) = (A × B) · C. Adem´as A × (B × C) =B(A · C) − C(A · B). Por u
´ltimo muestre que (A × B)2 + (A · B)2 = A2 B 2 .
5. Un hombre en bicicleta viaja 25 km al noreste, luego 15 km al este y finalmente 10 km al sur.
Encontrar la direcci´
on delpunto final respecto al punto de partida.

Respuesta: Se encuentra en la posici´on 40ˆi + 15ˆj
6. Encuentre el o los valores de α para que los vectores A = (α, −2, 1) y B = (2α, α, −4) seanperpendiculares.

Respuesta: α = 2 o α = −1.
7. Considere los vectores unitarios r1 y r2 en el plano (x, y). El primer vector forma un ´angulo α
con el eje x y el segundo un ´
angulo β con el eje y. Escribalas componentes de cada vector y a
partir del conocimiento de r1 · r2 deduzca una expresi´on para cos(α − β).

1

Respuesta: cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β).
8. Convierta en metros cada...