GUIA 1 VECTORES

VECTORES

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VECTORES
Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya
desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX
cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los
números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus "equipolencias", un conjunto
deoperaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.
El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a
él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de
cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con
rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente,casi todas las áreas de la física son
representadas por medio del lenguaje de los vectores.
En este tema, estudiaremos los vectores en
, las operaciones y sus propiedades. Además
de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación
de los conceptos estudiados.
Vectores





A partir de la representación de
, como una recta numérica, los elementos a , b R se
asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo
definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a ( 0 , 0 )
y cada ( a , b ) se asocia con un punto de coordenada
en la recta horizontal (eje
) y la
coordenada en la recta vertical (eje ).





2

a, b, c  R se asocian con puntos en el espacio
Análogamente, loselementos
tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los
ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , y ).
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VECTORES

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Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en
y en
. La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha
determina su magnitud.

Vector en el planovector en el espacio


Ejemplo graficar el vector:

u  8,10 ,12

para ello:

1) Localicemos en el plano xy el punto ( 8 , 10 ) y sobre este punto ubicamos 12 en el eje
z
2) Unimos mediante un segmento dirigido el punto ( 0 , 0 , 0 ) y ( 8 , 10 , 12)

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Notación
Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como
,
. Los
puntos se denotarán con letrasmayúsculas tales como
,
,
. En el contexto de los
vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas
cursivas tales como  ,, , .
Si el punto inicial de un vector

es

y el punto final es

, entonces



El vector nulo se denota con
Un vector en el

xi

0  0,0,0,......., 0

es un enuple de números reales

se le llama componente i-ésima del vector.

Un vectoren
Un vector en

R3
R4

tiene la forma
tiene la forma

x1 , x2 , x3
x1, x2 , x3 , x4

x1, x2 , x3 ,.....xn

,

xi  R . A cada

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Un vector en

R6

tiene la forma

4

x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6

Los vectores en el espacio generalmente los denotamos en la forma

x, y, z

Operaciones Básicas
Igualdad
Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, las mismas componentes.
Consideremos los vectores


que



X x1 , x 2 , x3 ,..... x n  y Y   y1 , y 2 , y3 ,..... y n  .



X  Y si y sólo si. xi  y i

para cada

Decimos

i  1,2,3...,n

EJEMPLO 1

Sean los vectores

v  1,3,4

;

w  3,1,4

, entonces

vw

ya cada

v

es 1 y la

componente correspondiente es diferente, así la componente en x del vector
del vector

w es 3.

Haga la representación grafica de losvectores.

Nota. Dados dos vectores, si una de las componentes correspondientes es diferentes los
vectores no son iguales, así los vectores

v   1,3,4

que tienen diferente la primera componente.

;

w  1,3,4

son diferentes ya

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OPERACIONES CON VECTORES.

Suma y resta
La suma y resta de vectores se hace componente a componente. Para sumar vectores se
debe tener en cuenta que estos...