GUIA 1

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTCA
CICLO I – 2010

MATEMATICA III

GUÍA DE EJERCICIOS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Preparado por: Lic. Oscar Roberto Chacón.

I.

Encuentre los máximos o mínimos relativos si los hay de las siguientes
funciones.

f ( x, y )

2x2

4 xy

6 y2

8x

2. f ( x , y )

2x3

2 y2

12xy

15

3. f ( x , y )

x2

4. f ( x , y )

3x 2

6 y3

36 xy

5. f ( x , y )

2x2

4 xy

y2

6. f ( x , y )

e xy

7. f ( x , y )

4 xy

8. f ( x , y )

x4

1.

9. f ( x , y )
10. f ( x, y )
11. f ( x, y )
12. f ( x, y )
13. f ( x, y )

x2

xy

2y2

10 x 2
y4
xy

2x

4 y2
2x2

y2

3x

10

6y

8

27
4x
8x
2y2

5
1
3 xy x 3 y 3
8
x2 y 2 2x 4 y 7
17
y4 2 y2 x2
16
2
2 xy ( x y ) x
2x

4y
8y
1
16

914. f ( x, y )

II.

x

y

1
x

4
y

15.

f ( x, y )

2
xy

16.

f ( x, y )

xy

17.

f ( x, y )

18.

f ( x, y )

19.

f ( L, K )

20.

f ( p, q )

21.

f ( x, y )

xe x
ye 2 y
1
( x 3 8 y 3 ) 2( x 2
3
2 LK
L2
264K
1
1
pq
p
q
1
64
xy
x
y

x2
ln( x )

y2
y2

y2 )
10 L

1
2K 2

Resuelva:

1. Una empresa esta desarrollando un nuevo refresco. El costo en
dólares de producir un lote del refresco esC(x, y) = 2200 + 27x3 – 72xy +8y2
Donde x es el número de kilos de azúcar por lote y y es el
numero de gramos de saborizante por lote.
a) Encuentre las cantidades de azúcar y saborizante que
conducen a un
costo mínimo por lote.
b) ¿Cual es el costo mínimo?
2. Suponga que la ganancia de cierta compañía está dada por

U(x, y) = 1000 + 24x - x2 + 80y - y2
Donde x es el costo de una unidad de fuerza detrabajo y y es el
costo de una unidad de bienes. Encuentre los valores de x y y que
maximicen la ganancia. Encuentre la ganancia máxima.
3. El costo total de producir x unidades de cinta tipo A y y unidades de
cinta tipo B esta dado por :

C(x, y) = 2x2 + 3y2 - 2xy + 2x - 126y + 3800

Encuentre el número de unidades de cada tipo de cinta que deben
producirse para que el costo sea mínimo.Encuentre el costo total
mínimo.
4. El ingreso total en miles de dólares por la venta de x tinas y y
calentadores esta dada por :

I(x, y) = 12 + 74x + 85y – 3x2 – 5y2 –5xy
Encuentre el número de cada artículo que debe venderse para
producir el ingreso máximo. Encuentre el ingreso máximo.
5. El ingreso mensual en cientos de dólares por la producción de x miles
de toneladas de mineral tipo A y y miles detoneladas de mineral tipo
B, esta dado por:

I(x, y) = 2xy + 2y + 12
El correspondiente costo en cientos de dólares esta dado por:

C(x, y) = 2x2 +y2
Encuentre la cantidad de cada tipo de mineral que debe producirse
para obtener la máxima ganancia.
6. Suponga que el costo y el ingreso en miles de dólares por la
fabricación de x unidades de un producto A y y unidades de un
producto B, están dadospor:

C(x, y) = x2 + 3y3 ;

I(x,y) = 6xy + 3 – x2

¿Cuantas unidades de cada producto producirán una ganancia
máxima?
¿Cuanto es la ganancia máxima?
7. Suponga que

P (L, K) = 1.08L2 – 0.03L3 + 1.68K2 - 0.08K3
es la función de producción de una empresa.
Encuentre las cantidades de insumo L y K que maximizan la
producción P.

8. Una empresa produce dos tipos de producto, A y B. El costo diario
total(en dólares) de producir x unidades de A y y unidades de B,
está dada por

C(x,y) = 250 – 4x – 7y + 0.2x2 + 0.1y2

a) Determine el número de unidades de A y B que la empresa
debe producir al día con el objeto de minimizar el costo total.
b) Si la empresa puede vender cada unidad de A a $20 y cada
unidad de B a $16, encuentre los niveles de producción de A y
B que maximizan las utilidades de laempresa. ¿Cuál es la
utilidad Máxima?
9. Una empresa utiliza dos tipos de materia primas, A y B, en su
producto. Usando x unidades de A y y unidades de B, la empresa
puede elaborar P unidades de su producto, con

P = 0.52x + 0.48y + 0.12xy –0.07x2 – 0.06y2
Si el costo de cada unidad de A es de $5.10 y de $1.80 por cada
unidad utilizada de B, y si la empresa puede vender todas las
unidades que...