Guia 10

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

ANTONIO JOSE DE SUCRE
VICERRECTORADO PUERTO ORDAZ
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
SECCION DE MATEMÁTICA
CATEDRA : MATEMÁTICA II

CAPITULO 10
SERIES NUMÉRICAS

Lic. ELIZABETH VARGAS

CIUDAD GUAYANA MARZO 2015

CAPÍTULO 10.

Series Numéricas

Lic. Elizabeth Vargas

2

10.1 SERIES NUMÉRICAS

{an } se puede formar otra sucesión {S n } sumando losprimeros
{an } . Sean a1 , a 2 , ..., a n , los primeros n términos de {an }, entonces la

Dada una sucesión
elementos de
sucesión

{S n } se construye así:
s1 = a1

,

s 2 = a1 + a 2 ,

s 3 = a1 + a 2 + a 3

, ....

n

s n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n −1 + a n = ∑ a i que representa la suma

En general

i =1

parcial de los n primeros términos o enésima suma parcial. La sucesión
serie infinita,serie numérica o simplemente serie, y se representa así:

{S n } se llama

∞

a1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ...... =

∑ ai .
i =1

∞

Sí existe un número real S tal que Lim S n = S se dice que la serie

∑ ai

converge

y

i =1

∞

que S es la suma de la serie , es decir :

∑ ai = S

∑ ai = S , siempre

o simplemente

i =1

que los límites desde i =1 hasta ∞ , en otros casos se indican los límites
Sí {Sn } diverge, diremos entonces que la serie

∑ ai

diverge y no tiene suma.

Recuerde:
i)

Una serie es convergente sí y sólo sí
correspondientes es convergente.

ii)

Sí

∑ an

es una serie y {S n } la sucesión de sumas parciales entonces se cumple
S n = S n−1 + a n .

que:
Ejemplo 10.1
∞

i)

∑

n =1

1
2

la sucesión de las sumas parciales

Determine si las siguientes series convergen odivergen.
ii)

n −1

1

∑ (2n − 1)(2n + 1)

iii)

 n 



∑ ln n +1 

iv)

1

∑n

Solución.
∞

i)

∑

n =1

1
n −1

2

1
s1 = = 1
1

: construyamos la sucesión de las sumas parciales:

⇒ s1 =

21 − 1
20

v)

∑ ( −1 )n

CAPÍTULO 10.

Series Numéricas

Lic. Elizabeth Vargas

3

1 3
22 − 1
= ⇒ s2 =
2 2
21
3
s 3 = s 2 + a 3 ⇒ s3 = 3 + 1 = 7 ⇒ s3 = 2 −1
2
2 4 4
2
s 2 = s1 + a 2 ⇒ s 2 = 1 +

4
s 4 = s 3+ a 4 ⇒ s 4 = 7 + 1 = 15 ⇒ s 4 = 2 3− 1
4 8 8
2

sn =

En general:

2 n −1
2 n −1

(

n
2 2 −1
Lim 2 n −−11 = Lim
= 2.1 = 2 ,
2
2n
∑ 2 1n−1 = 2 .

ii)

∑ (2n − 1)(2n + 1)
1

∞

s1 = 1 ,
3

lo que significa que la

serie converge

y

: los primeros elementos de la sucesión



1

 son:
(
2
n
−
1
)(
2
n
+
1
)

 n =1
Así:

y

, así la sucesión de las sumas parciales es

)

n

 2 n − 1
 n −1
2


1 , 1 , 1 , 1 , ...,
1
1.3 3.5 5.7 7.9
( 2 n − 1)( 2 n + 1)

s 2 = 1 + 1 = 2 , s3 = 2 + 1 = 3
3 3.5 5
5 5.7 7

Observe que el término general de {sn } es
serie converge, y se cumple que

sn =

1

n
2n + 1

,

y Lim s n =

s4 = 3 + 1 = 4
7 7.9 9
1 , por lo tanto la
2

1

∑ (2n − 1)(2n + 1) = 2

Otra forma de resolver el problema es la siguiente:
Sea

an =

1

( 2 n − 1)( 2 n + 1)

, lo cual sedescompone en fracciones simples

1
1
2
2
obteniéndose :
=
−
( 2 n − 1)( 2 n + 1) 2 n − 1 2 n + 1
1 
 1
 2
1
2  , y el término general de
Luego : ∑
= ∑
−

2n + 1 
(2n − 1)(2n + 1)
 2n − 1


1
1
la sucesión de las sumas parciales es S n = −
, de allí que
2 2( 2 n + 1 )
1

LimS n =

1
, por lo tanto la serie converge , luego
2

∑ ( 2 n − 1)(1 2 n + 1) = 12 .

CAPÍTULO 10.

SeriesNuméricas

Lic. Elizabeth Vargas

4

  n 
 son:
  n + 1 

iii) Los primeros términos de la sucesión ln

ln  1  , ln  2  , .. ..., ln  n  ,... Luego la sucesión de las sumas parciales es:
2
3
 n +1
s1 = − ln(2 ) , s 2 = − ln ( 2 ) + ln  2  = − ln (3 ) , s3 = − ln (3 ) + ln  3  = − ln ( 4 )
4
3
En general,

s n = − ln(n + 1) , y Lim s n no existe. Por lo tanto, laserie diverge.

iv) Los primeros términos de la serie

∑ 1n

son: 1 +

1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...
2 3 4
n

los cuales se agrupan así:
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 + +  +  +  + + +  + ... + ... +  + ....
2 3 4 5 6 7 8
16 
9
Cada grupo encerrado entre paréntesis contiene el doble de términos que el sumando
anterior. Observe que la suma de los términos dentro de cada paréntesis es mayor...