Guia 2 Derivabilidad

Gu´ıa 2, C´
alculo I
Facultad de Ingenier´ıa, U. de Los Andes.
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes.
Tema: Derivadas y An´
alisis de Funciones.
P1.- Calcular usando la definici´
on, la derivada de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)

f (x) = x3 .
f (x) = sen2 (x).
f (x) = x4 + 3x2 − 6.
√
f (x) = 3 x.

P2.- Utilizando las reglas de derivaci´
on, calcular lasderivadas de las siguientes funciones indicando el mayor conjunto donde son derivables:
(a) y =

xp
xm −am .

(c) y =

2
2x
√ −1 .
x 1+x2

√
(b) y = (a + x) a − x.

1+senx
1−senx

(d) y = ln
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)

y
y
y
y
y
y

.

xx

=e .
= sen (xcos x ) + cos (xsenx ).
= tg(ax + b).
= ln(cos2 x).
√
= sen( 1 − 2x ).
= a(1 − cos2 x2 )3 .

(k) y =

n

x−tgx
x+sec x

P3.- Calcular las derivadas de lassiguientes funciones hallando previamente sus logaritmos:
(a) y = x5 (a + 3x)3 (a − 2x)2 .
√
(b) y = arcsen( senx).
(c) y = xarc cos x .
P4.- Derivar impl´ıcitamente para encontrar y :
(a)
(b)
(c)
(d)

y 2 = 4px.
b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 .
x3 + y 3 − 3axy = 0..
y = cos(ax + y).

P5.- Sea ABC un tri´
angulo de lados a, b, c y α el ´angulo opuesto al lado a. Del
Teorema del coseno se tiene la siguienterelaci´on:
a=

b2 − c2 − 2bc cos α.

da
Demostrar que dα
= ha , donde ha es la altura del tri´angulo correspondiente al
lado a. Hacer una interpretaci´
on geom´etrica de este resultado.

1

P6.- Calcular los siguientes l´ımites aplicando apropiadamente la regla de L’Hopital:
3x −2x
.
2
x→0 x
l´ım lnhx
x→0+ x

(a) l´ım
(b)

h > 0.

(c) l´ım

1
tghx

(d) l´ım

ex +e−x
.
x2

1
x→0 x

x→0

−

1
tgx

.cos x
.
2
x→ 2 sen x−1

(e) l´ımπ

xsenx −(senx)x
senhx −(senhx)x .
x
x→0

(f) l´ım

P7.- Sea f : IR → IR una funci´
on derivable en 0 tal que f (x+y) = f (x)f (y) para todo
x, y ∈ IR. Demostrar que f es derivable en todo punto y que f (x0 ) = f (0)f (x0 ).
P8.- Sea c > 1 una constante fija. Demostrar que una funci´on f : IR → IR es derivable
(x)
L
en 0 si y s´
olo si existe el l´ımite L = l´ım f(cx)−f
. Observar que f (0) = c−1
.
x
x→0

P9.- Sea f : IR −→ IR una funci´
on derivable tal que f (x) = af (x) para todo x ∈ IR,
donde a ∈ IR es una constante. Demostrar que f (x) = f (0)eax .
Ind: Demostrar que la funci´
on g(x) = e−ax f (x) tiene derivada nula.
P10.- Sean f, g dos funciones reales, demostrar que:
(f g) (x) = f (x)g (x) + 2f (x)g(x) + f (x)g(x).
¿Qu´e hip´
otesis se requierenpara obtener la f´ormula anterior?. De esta manera
usando el Teorema del binomio de Newton, se tiene una regla general. Demostrar
por inducci´
on la F´
ormula de Leibnitz:
n
(n)

(f g)

(x) =
k=0

n (k)
f (x)g (n−k) (x).
k

Donde f (n) denota la derivada en´esima de la funci´on f .
P11.- Considere la funci´
on f definida por:
f (x) =

x ln x
x−1

a

x>0 y x=1
x=1

(a) Determinar el valor de a paraque f sea continua en todo x > 0.
(b) Analizar la existencia de f (x) para x > 0. En caso de existir calcular f .
(c) Determinar los puntos de continuidad de f en (0, ∞).
(d) Si se sabe f (n) existe para n ≥ 2 y que es continua en x = 1. Calcular una
relaci´
on de recurrencia para f (n) (1) utilizando la regla de Leibnitz para
(x − 1)f (x).
(e) Encontrar el polinomio de Taylor de orden 3 para lafunci´on f en torno a
x0 = 1.
2

P12.- Se pide estudiar completamente la funci´on f definida por:
f (x) = x + 1 −

2
ln x
−3
x
x

para ello :

(a) Establecer el dominio de f y encontrar por inspecci´on un cero.
(b) Estudiar, en caso de existir, as´ıntotas verticales, horizontales y oblicuas.
(c) Calcular f y determine sus ceros. Estudiar crecimiento, m´aximos y m´ınimos.
(d) Calcular f . Estudiarconvexidades y econtrar posibles puntos de inflexi´on.
(e) Hacer un bosquejo del gr´
afico de f e indicar su recorrido.
P13.- Encontrar la recta tangente a la curva definida impl´ıcitamente por la ecuaci´on:
e2arcsen(yx) = ln(1 + x2 + y 2 )
en el punto P donde la curva corta al eje de las abscisas, es decir yP = 0, con
abscisa xP > 0.
P14.- Sea g : IR −→ IR una funci´
on dos veces derivable con...