GUIA 2

MATEMÁTICAS PARA INGENIER0S, MEDIANTE EL 
SISTEMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO DERIVE 6.10 

                                   

FUNCIÓN DE DOS VARIABLES 
Sea  D ⊂ R 2  Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado 
( x, y )  en Df ( x, y )  un único número real z denotado por  z = f ( x, y )  D es el dominio de f. 

z = f ( x, y )   La  definimos  como  una  función  f : D⊂ R 2 → R   de  conjuntos  de  puntos 
donde   {( p, z ) / z = f ( x, y ), P ∈ R 2 ∧ z ∈ R}   
Gráficamente 

 
DOMINIO Y RANGO 
El  conjunto  de  parejas  ordenadas  para  las  cuales  la  regla  de  correspondencia  da  un 
número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a 
los pares ordenados se llama imagen o rango.  
Función de dos variables 

Sea z = f( x, y )  y  {( p, z ) / z = f ( x, y ), P ∈ R 2 ∧ z ∈ R}   

Df = {( x, y ) ∈ R 2 / ∃f ( x, y ) ∧ z ∈ R}   

Rf = { z ∈ R / z = f ( x, y ) ∧ ( x, y ) ∈ R 2 }  
Ejemplo. Sea la función  z = f ( x, y ) = 16 − x 2 − y 2  Determine: a) dominio de la función,  

a)  Claramente  el  dominio  es  Df = {( x, y ) / x 2 + y 2 ≤ 16}   ,  es  decir,  un  disco  cerrado  con centro en el origen y radio 4. 
En Derive: (Es necesario el conocimiento teórico anteriormente descrito) 

 

              
 
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Ejemplo. Hallar el dominio de la función  z = f ( x, y ) = x 2 + y 2  
Como es una función polinómica el Df ( x, y ) es todo el plano xy 
 

 
Ejemplo. Sea la función   definida por f ( x, y ) = x + xy + y   Hallar el dominio  
El Df ( x, y ) está definido por todo el plano xy 
              

2

2

 

    

 Ejemplo. Determine el dominio de la función, f ( x, y ) =

 
25 − x 2 − y 2
  
y

y ≠ 0 ∧ 25 − x 2 − y 2 ≥ 0
⎪⎧
Df = ⎨ ( x , y ) ∈ R 2 / f ( x , y ) =
⎩⎪

25 − x 2 − y 2
⎪⎫   
∧ y ≠ 0 ∧ 25 − x 2 − y 2 ≥ 0 ∧ f ( x , y ) ∈ R ⎬
y
⎭⎪

 

Para graficar:  
 

 

            

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Ejemplo. Determine el dominio de la función f ( x, y ) = ln ( xy − 1)  
 
El  dominio  de  f   es  {( x, y ) xy > 1} ,  el  conjunto  de  todos  los  puntos  ( x, y )   en  R 2   el 
interior de la hipérbola  xy = 1 . 
 

 

 

         

 

LÍMITES Y CONTINUIDAD. En  funciones  de  varias  variables  el  concepto  de  límite  es  mucho  más  complejo  que  en 
funciones de una variable debido a que a un punto nos podemos aproximar por muchas 
direcciones  diferentes.  Veamos  algunos  ejemplos  que  nos  permiten  estudiar  la 
continuidad de la función a través de la información que nos da su límite. 
 
Ejemplo:  Determinar  la  existencia  del  límite de  la  siguiente  función:
 
x2 − y2
f ( x, y) = 2 2 ; en (0,0)
 
x +y
Podemos demostrar la existencia del límite por dos procedimientos: 
PRIMER PROCEDIMIENTO: 
a) Tecleamos la función dada: 

  
b) Activamos el comando CALCULO, luego LIM, y aparece la siguiente figura: 

 
Seleccione, variable x, punto 0, tendiendo por: ambas, y pulse simplificar: Este resultado nos indica el valor del límite reiterado cuando y es constante.  l xy = −1

 
 

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