GUIA 5 SUPERFICIES CUADRICAS 2011

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

SUPERFICIES 1
CUADRICAS

SUPERFICIES CUADRICAS
En el espacio una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo
grado en las variables x , y , z. la forma general de esta ecuación es:

Ax 2  By 2  Cz 2  Dxy  Exz  Fyz  Gx  Hy  Iz  J  0
Donde A ,B, C, D, E, F, G, H, I, Json constantes o números reales.
Las superficies que se estudiaran, son aquellas en las cuales los coeficientes de
los productos cruzados son iguales a cero. Es decir D = E = F = 0 , siendo la
ecuación de segundo grado de la forma:
2
2
2

Ax  By  Cz  Gx  Hy  Iz  J  0

La traza de la superficie en el plano es la intersección de estas dos graficas de
superficies. Por ejemplo si tenemos unaesfera que se intercepta con el plano xy,
se puede ver claramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una
circunferencia de radio “r” que dependerá de la ubicación de la esfera respecto al
plano. Esto se cumplirá si las dos superficies se interceptan entre si pero no son
tangentes.

SUPERFICIES 2
CUADRICAS
Para visualizar una superficie especifica en el espacio, por lo generalbasta
examinar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos
planos paralelos a estos.
Las trazas en cada uno de los planos coordenados de una superficie cuádrica
son secciones cónicas , las cuales se estudiaron en el calculo uno ( Circunferencia,
parábola , elipse , hipérbola )
Existen seis tipos básicos de superficies cuádricas :
ELIPSOIDE ,
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA , HIPERBOLOIDEDE DOS HOJAS , CONO
ELÍPTICO , PARABOLOIDE ELÍPTICO , PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.
Examinemos cada uno de ellos.

1. EL ELIPSOIDE:

Se obtiene cuando los coeficientes de los tres términos
cuadráticos presenten igual signo pero
valores diferentes. Es importante señalar
que además de esta condición se hace
necesario
el
estudio
del
término
independiente que se realiza despejándolo.
Si el términoindependiente es nulo
entonces la ecuación representaría un punto
en el espacio, en cambio si este es diferente
de cero se debe observar que una vez
despejado presente el mismo signo que los
términos cuadráticos ya que en caso
contrario la ecuación no representaría lugar
geométrico alguno.
SU ECUACION GENERAL ES:

x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
La elipsoide corta a los ejes coordenados en los puntos (  a, 0 , 0 ) ; ( 0 ,  b , 0
) ;(0,0,c).

SUPERFICIES 3
CUADRICAS
Su grafica se encuentra dentro de una caja rectangular definida por las
desigualdades

x  a; y  b; z  c

la grafica es simétrica con respecto a

cada uno de los planos coordenados porque las variables de la ecuación que la
definen están elevadas al cuadrado.
Para dibujar la elipsoide a la ecuación general se le hace el siguienteanálisis.

x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
En la ecuación
original haciendo
la variable

z=0

x=0

y=0

Se obtiene la
ecuación en dos
variables

x2 y 2
 2 1
2
a
b
y2 z2
 2 1
2
b
c
x2 z 2
 1
a2 c2

Que corresponde a
una cónica
llamada

Cuya grafica es
paralela al plano

Elipse

XY

Elipse

YZ

Elipse

XZ

Si a = b = c y son diferentes de cero , la expresión representa una esfera.

SUPERFICIES4
CUADRICAS

2. PARABOLIODE
general es:

ELIPTICO.

Su

ecuación

x2 y 2 z
 2  0
2
a
b
c
Es simétrico a los planos x = 0 , y = 0. la única
intersección sobre los ejes es el origen. Excepto
por ese punto. La superficie se halla totalmente
arriba o totalmente abajo del plano XY,
dependiendo del signo de c. Para graficarla se
hace el siguiente análisis.

SUPERFICIES 5
CUADRICAS
En la ecuaciónoriginal haciendo
la variable

z=c

x=0

y=0

Se obtiene la
ecuación en dos
variables

Que corresponde a
una cónica
llamada

Cuya grafica es
paralela al plano

Elipse

XY

Parábola

YZ

Parábola

XZ

x2 y 2

1
a 2 b2
y2 z

2
b
c
x2 z

2
a
c

El eje de la parábola corresponde al a variable elevada a la
potencia uno.

Si a = b , se obtiene un paraboloide circular.

SUPERFICIES 6
CUADRICAS
3....