GUIA_5
Páginas: 5 (1093 palabras)
Publicado: 20 de octubre de 2015
Guia 5 de Matem´aticas 2
Programa de Bachillerato. Universidad de Chile.
Octubre, 2013
1. Despeja t en cada una de las siguientes expresiones:
a) 2at/3 = 5.
b) K = H − Cat
c) L =
A+Beat
C−Deat
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ln(x) = ln(8 − x)
b) ln(ln(x)) = 1
c) ln(x + 6) + ln(x − 3) = ln(5) + ln(2)
d ) 7ex − e2x = 12.
3. Si comenzamos con q0 miligramos de radio, la cantidad q(t)restante
despu´es de t a˜
nos est´
a modelada por:
q(t) = q0 2t/1600 .
a) Grafica q(t).
b) Muestre que la raz´
on de cambio de la cantidad restante a los t a˜
nos
es directamente proporcional a la cantidad restante a los t a˜
nos.
4. Indique el dominio y grafique las siguientes funciones:
a) f (x) = 5ln(x + 2) − 3
f ) f (x) = 3x .
b) g(x) = ln
x+3
2−x
c) f (x) =
10
1−20e−t
d ) f (x) =
e3x +e−3x2
g) f (x) = log 1 (x).
3
h) f (x) =
1 x
2 .
i ) f (x) = log2 (x).
2
e) f (x) = e−x .
1
5. Calcule los siguientes l´ımites:
a) l´ım ln(x − 1).
x→1+
b) l´ım (ln(x + 2)) − ln(1 + x).
x→∞
2
c) l´ım e−x .
x→∞
ln(x + 1)
.
x→0
x
d ) l´ım
ex − 1
.
x→0
x
e) l´ım
6. Indique el conjunto para el cual las siguientes funciones son diferenciables y halle la funci´on derivada.
a) f (x) = ln(3x)b) f (x) = ex · ln(3x)
c) f (x) = ln(e−x + xe3x )
d ) f (x) =
ex +e−x
2
e) f (x) =
ex −e−x
2
7. Encuentre la familia de primitivas de las siguientes integrales indefinidas:
j)
√ x
dx
1+x2
k)
√ x
dx
1−x4
sec3 (x)dx
l)
1
x ln(x) dx
e)
tan(x)dx
m)
f)
cot(x)dx
g)
csc(x)dx
h)
ex sen(2x)dx
n
˜)
i)
ex
dx
e2x +1
o)
a)
ln(x)dx
b)
arctan(x)dx
c)
sec(x)dx
d)
n)
1
dx
4+x2
x
dxx2 +x+1
√
1 + 4x2 dx
1
1−cos(x) dx
8. ¿Existe x en R tal que ex = ln(x)?, ¿existe x en R tal que ex = x? y
¿existe x en R tal que x = ln(x)?. Justifique en cada caso su respuesta.
9. Use regla de L’Hopital para determinar si los siguientes l´ımites existen.
2
a) l´ım
x→0
ex −1
x
ln(1+x)
x
x→0
x→0
ax −bx
x
e) l´ım
loga (1+x)
x
x→0
b) l´ım
c) l´ım
d ) l´ım
x→0
ax −1
x
f)
l´ımx→+∞
x+x2
ex
x
−x
y
10. Las funciones cosh, senh : R → R definidas por cosh(x) = e +e
2
x
−x
senh(x) = e −e
,
se
llaman
el
coseno
hiperb´
o
lico
y
el
seno
hiperb´
o
lico
2
respectivamente.
a) Muestre que senh (x) = cosh(x) y que cosh (x) = senh(x).
b) Muestre que cosh es par y senh impar.
c) Muestre que cosh2 (x) − senh2 (x) = 1.
d ) Grafique cosh y senh.
11. ¿Es cierto que para cualquier x ≥ 0 setiene que ex − 1 ≤ xex ?.
12. El n´
umero de personas N que han escuchado extenderse un rumor por
los medios masivos de comunicaci´on se modela por la siguiente funci´on
de tiempo t:
N = a(1 − e−kt )
Suponga que hay 200000 personas que escuchan finalmente el rumor.
Si el 10 % de ellos lo escucharon el primer d´ıa, hallar a y k, suponiendo
que t se mide en d´ıas.
13. Resuelva los siguientesproblemas de valor inicial. Indique el dominio
de la soluci´
on.
a)
dy
dx
= x1 , y(1) = −2.
b)
dy
dx
= 1 − xe−2x , y(0) = 1.
c)
dy
dx
= ln(x), y(1) = 0.
d)
dy
dx
= keax , y(1) = k2 .
e)
dy
dx
= Aekx + B, y(0) = 100.
Polinomios
14. ¿Existe una funci´
on polinomial que cuya gr´afica pase por los puntos
(1, 1), (0, 1) y (2, 2)?.
15. Considere una funci´
on polinomial de grado 3, ¿es siempreestrictamente creciente?.
16. ¿Es cierto que si un polinomio no tiene ra´ıces en R no se puede descomponer como producto de polinomios?.
3
17. Sean p(x) y q(x) dos polinomios de grado n y m respectivamente.
¿Es cierto que al componer las funciones polinomiales asociadas a esos
polinomios resulta una funci´on polinomial de grado nm?.
18. ¿Es cierto que el polinomio x4 + 1 no se puede descomponercomo un
produnto de dos polinomios de grado menor que 4?.
19. Muestre que c es una ra´ız de f (x) y factorice por (x − c).
(a) f (x) = x3 + x2 − 2x + 12, c = −3
(c) f (x) = 4x3 − 6x2 + 8x − 3, c = 1/2
(d) f (x) = 27x4 − 9x3 + 3x2 + 6x + 1, c = −1/3
20. Determine las ra´ıces racionales del polinomio:
(a) p(x) = x6 + x5 + x4 − 2x2 − 1.
(b) p(x) = 13 x3 + 26 x2 − 19 x.
21. Encuentre un polinomio...
Programa de Bachillerato. Universidad de Chile.
Octubre, 2013
1. Despeja t en cada una de las siguientes expresiones:
a) 2at/3 = 5.
b) K = H − Cat
c) L =
A+Beat
C−Deat
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ln(x) = ln(8 − x)
b) ln(ln(x)) = 1
c) ln(x + 6) + ln(x − 3) = ln(5) + ln(2)
d ) 7ex − e2x = 12.
3. Si comenzamos con q0 miligramos de radio, la cantidad q(t)restante
despu´es de t a˜
nos est´
a modelada por:
q(t) = q0 2t/1600 .
a) Grafica q(t).
b) Muestre que la raz´
on de cambio de la cantidad restante a los t a˜
nos
es directamente proporcional a la cantidad restante a los t a˜
nos.
4. Indique el dominio y grafique las siguientes funciones:
a) f (x) = 5ln(x + 2) − 3
f ) f (x) = 3x .
b) g(x) = ln
x+3
2−x
c) f (x) =
10
1−20e−t
d ) f (x) =
e3x +e−3x2
g) f (x) = log 1 (x).
3
h) f (x) =
1 x
2 .
i ) f (x) = log2 (x).
2
e) f (x) = e−x .
1
5. Calcule los siguientes l´ımites:
a) l´ım ln(x − 1).
x→1+
b) l´ım (ln(x + 2)) − ln(1 + x).
x→∞
2
c) l´ım e−x .
x→∞
ln(x + 1)
.
x→0
x
d ) l´ım
ex − 1
.
x→0
x
e) l´ım
6. Indique el conjunto para el cual las siguientes funciones son diferenciables y halle la funci´on derivada.
a) f (x) = ln(3x)b) f (x) = ex · ln(3x)
c) f (x) = ln(e−x + xe3x )
d ) f (x) =
ex +e−x
2
e) f (x) =
ex −e−x
2
7. Encuentre la familia de primitivas de las siguientes integrales indefinidas:
j)
√ x
dx
1+x2
k)
√ x
dx
1−x4
sec3 (x)dx
l)
1
x ln(x) dx
e)
tan(x)dx
m)
f)
cot(x)dx
g)
csc(x)dx
h)
ex sen(2x)dx
n
˜)
i)
ex
dx
e2x +1
o)
a)
ln(x)dx
b)
arctan(x)dx
c)
sec(x)dx
d)
n)
1
dx
4+x2
x
dxx2 +x+1
√
1 + 4x2 dx
1
1−cos(x) dx
8. ¿Existe x en R tal que ex = ln(x)?, ¿existe x en R tal que ex = x? y
¿existe x en R tal que x = ln(x)?. Justifique en cada caso su respuesta.
9. Use regla de L’Hopital para determinar si los siguientes l´ımites existen.
2
a) l´ım
x→0
ex −1
x
ln(1+x)
x
x→0
x→0
ax −bx
x
e) l´ım
loga (1+x)
x
x→0
b) l´ım
c) l´ım
d ) l´ım
x→0
ax −1
x
f)
l´ımx→+∞
x+x2
ex
x
−x
y
10. Las funciones cosh, senh : R → R definidas por cosh(x) = e +e
2
x
−x
senh(x) = e −e
,
se
llaman
el
coseno
hiperb´
o
lico
y
el
seno
hiperb´
o
lico
2
respectivamente.
a) Muestre que senh (x) = cosh(x) y que cosh (x) = senh(x).
b) Muestre que cosh es par y senh impar.
c) Muestre que cosh2 (x) − senh2 (x) = 1.
d ) Grafique cosh y senh.
11. ¿Es cierto que para cualquier x ≥ 0 setiene que ex − 1 ≤ xex ?.
12. El n´
umero de personas N que han escuchado extenderse un rumor por
los medios masivos de comunicaci´on se modela por la siguiente funci´on
de tiempo t:
N = a(1 − e−kt )
Suponga que hay 200000 personas que escuchan finalmente el rumor.
Si el 10 % de ellos lo escucharon el primer d´ıa, hallar a y k, suponiendo
que t se mide en d´ıas.
13. Resuelva los siguientesproblemas de valor inicial. Indique el dominio
de la soluci´
on.
a)
dy
dx
= x1 , y(1) = −2.
b)
dy
dx
= 1 − xe−2x , y(0) = 1.
c)
dy
dx
= ln(x), y(1) = 0.
d)
dy
dx
= keax , y(1) = k2 .
e)
dy
dx
= Aekx + B, y(0) = 100.
Polinomios
14. ¿Existe una funci´
on polinomial que cuya gr´afica pase por los puntos
(1, 1), (0, 1) y (2, 2)?.
15. Considere una funci´
on polinomial de grado 3, ¿es siempreestrictamente creciente?.
16. ¿Es cierto que si un polinomio no tiene ra´ıces en R no se puede descomponer como producto de polinomios?.
3
17. Sean p(x) y q(x) dos polinomios de grado n y m respectivamente.
¿Es cierto que al componer las funciones polinomiales asociadas a esos
polinomios resulta una funci´on polinomial de grado nm?.
18. ¿Es cierto que el polinomio x4 + 1 no se puede descomponercomo un
produnto de dos polinomios de grado menor que 4?.
19. Muestre que c es una ra´ız de f (x) y factorice por (x − c).
(a) f (x) = x3 + x2 − 2x + 12, c = −3
(c) f (x) = 4x3 − 6x2 + 8x − 3, c = 1/2
(d) f (x) = 27x4 − 9x3 + 3x2 + 6x + 1, c = −1/3
20. Determine las ra´ıces racionales del polinomio:
(a) p(x) = x6 + x5 + x4 − 2x2 − 1.
(b) p(x) = 13 x3 + 26 x2 − 19 x.
21. Encuentre un polinomio...
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