GUIA 8 DERIVADAS PARCIALES

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DERIVADAS PARCIALES
Si f es una función de las variables x e y , la derivada parcial de la función f con respecto a x
es la función denotada por D1f , tal que su valor en cualquier punto ( x , y ) del dominio de f
esta dada por:

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la gráfica de
entonces el punto P( a, b, c)
superficie

z  f ( x, y )

está sobre la superficieObserve que la curva

C1

tangente T1 en el punto

f (a, b)  c ,

yb

interseca a la

sobre el plano

y  b . De

. El plano vertical

en la curva C1 (es decir, C1 es la traza de la superficie

manera semejante, el plano vertical
pasan por el punto
.

. Si

representa una superficie

interseca a la superficie

en la curva

C2 . Ambas curvas

g ( x, b) de manera que la pendiente de su recta
g / (a) f x (a, b) La curva C2 es la gráfica de la función

es la gráfica de la función
es

g ( y )  f ( a, y ) así que la pendiente de su tangente T2 en el punto

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es

g / (b)  f y (a, b)

2

D1 f ( x, y ) Lim
x  0

f  x  x, y   f  x, y 
x

siempre que el limite exista.

La derivada parcial de la función f con respecto a y es la funcióndenotada por D2f , tal que
su valor en cualquier punto ( x , y ) del dominio de f esta dada por:

D2 f ( x, y ) Lim

y  0

f  x, y  y   f  x, y 
y

siempre que el limite exista.

Otras formas de denotar las derivadas parciales de la función f son:

f1 ; f x :

f
x

Ejemplo: aplique la definición de derivada parcial para encontrar D1f y D2f para

f ( x, y )  3 x 2  4 xy  y 2

D1 f( x, y ) Lim
x  0

f  x  x, y   f  x, y 
x



3x  x   4x  x  y  y 2  3x 2  4 xy  y 2
D1 f ( x, y ) Lim
x  0
x
2



2





3 x 2  2 xx  x   4 xy  4 yx  y 2  3 x 2  4 xy  y 2
D1 f ( x, y ) Lim
x  0
x

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3

3 x 2  6 xx  3x   4 xy  4 yx  y 2  3x 2  4 xy  y 2
D1 f ( x, y ) Lim
x  0x
2

2

 6 xx  3x   4 yx
D1 f ( x, y ) Lim
x  0
x

6 x  3x   4 y x

D1 f ( x, y ) Lim

x

x  0

D1 f ( x, y ) Lim6 x  3x   4 y 
x  0

D1 f ( x, y ) 6 x  4 y
Ahora.

D2 f ( x, y ) Lim

y  0

f  x, y  y   f  x, y 
y
2



3 x 2  4 y  y x   y  y   3 x 2  4 xy  y 2
D2 f ( x, y ) Lim
y  0
y



2





3 x 2  4 xy  4 xy  y 2  2 yy y   3 x 2  4 xy  y 2
D2 f ( x, y ) Lim
y  0
y
2

3 x 2  4 xy  4 xy  y 2  2 yy  y   3 x 2  4 xy  y 2
D2 f ( x, y ) Lim
y  0
y
2

 4 xy  y   2 yy
D2 f ( x, y ) Lim
y  0
y

D2 f ( x, y ) Lim

 4 x  y   2 y y

y  0

y

D2 f ( x, y ) Lim 4 x  y   2 y 
y  0

D2 f ( x, y ) 2 y  4 x
Si ( x0 , y0 ) es un punto del dominio de f, entonces.

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4

D1 f ( x0 , y0 ) Lim

f x0  x, y0   f x0 , y0 
x

D2 f ( x0 , y0 ) Lim

f  x0 , y0  y   f  x0 , y0 
y

x  0

y  0

Ejemplo. Si

f x, y   3x  4 xy

D1 f ( 2,3) Lim
x  0

Determinamos

, determine

siempre que el limite exista.

siempre que el limite exista.

D1 f ( 2,3)

y

D2 f ( 2,3)

f 2  x,3  f 2,3
x

f2,3  3(2)  4(2)(3)  6  24  18

f 2  x,3  32  x   42  x 3  6  3x  24  12x  18  9x
 18  9x  18
 9 x
 Lim
 9
x  0
x  0 x
x

D1 f (2,3) Lim

La derivada con respecto a y es:

D2 f ( 2,3) Lim

y  0

Determinamos

f 2,3  y   f 2,3
y

f 2,3  3(2)  4(2)(3)  6  24  18

f 2,3  y   32  42 3  y   6  24  8y  18  8y
 18  8y 18
 8 y
 Lim
 8
y  0
y  0 y
y

D2 f ( 2,3) Lim

Otra forma de evaluar las derivadas parciales en un punto es:

D1 f ( x0 , y0 ) Lim
x  x0

f  x , y0   f  x0 , y0 
x  x0

siempre que el limite exista.

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5

D2 f ( x0 , y0 ) Lim
y  y0

f x0 , y   f x0 , y0 
y  y0

siempre que el limite exista.

Ejemplo....