GUIA 9 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

1

DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL SAENZCODANIEL18@HOTMAIL.COM

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
Si f( x , y ) es una función de dos variables, al derivar la función parcialmente con respecto a
una de las variables x o y , se obtiene otra función de estas dos variables, la cual se puedederivar parcialmente con respecto a x o y, con lo que se las derivadas parciales segundas de

f. siguiendo el mismo proceso se pueden obtener las terceras derivadas, y así
sucesivamente.

Ahora, si f( x , y ) es una función de las variables x , y, entonces:

f x;

fy

, representan las primeras derivadas parciales. A partir de ellas se pueden

obtener las cuatro segundas derivadas parciales, lascuales se obtienen al derivar
parcialmente

f x;

fy

con respecto a la variable x y luego con respecto a la variable y.

siendo estas segundas derivadas las siguientes:

f xx;

f yx

f xy;

f yy

Cuantas son las terceras derivadas parciales?

f xx

2 f
  f 
 2   
x  x 
x

lo cual nos indica que la funciones a la función se le debe

encontrar la segunda derivada parcial con respecto a lavariable x.

2 f
  f 
f xy 
  
yx y  x 

lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la

derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con respecto a la
variable y.

2 f
  f 
f yx 
  
xy x  y 

lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la

derivada parcial con respecto a la variable y y luegoderivarla parcialmente con respecto a la
variable x.

DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL SAENZCODANIEL18@HOTMAIL.COM

2

3 f
  2 f
f xxy 
 
yx 2 y  x 2





lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar

la segunda derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con
respecto a la variable y.
En el siguiente esquema se ilustra las tres primerasderivadas parciales de una función de
dos variables.

F(x,y)

Fx

Fy

Fxx

Fxxx

Fxy

Fxxy

Fxyx

Fyx

Fxyy

Fyxx

Fyy

Fyxy

Fyyx

f ( x, y )  5 x3 y 2  x 2 Seny2

EJEMPLO: DADA LA FUNCION

Fyyy

encontrar:

a) las primeras derivadas parciales.

f y  10x3 y  2 yx2Cosy 2

f x  15 x 2 y 2  2 xSeny2
b) Las segundas derivadas parciales:

f xx  30 xy 2  2Seny2

f xy  30x2 y  4 yxCosy 2

f yx 30x2 y  4xyCosy 2
f yy  10x3  2x2Cosy 2  4 y 2 x2 Seny2

TEOREMA DE LA DERIVADA MIXTAS O CRUZADAS.

f ;f ;f ;f

x
y
xy
yx están definidas en toda una
Si f( x , y ) y sus derivadas parciales
región abierta que contenga a un punto ( a , b ) y son todas continuas en ( a , b ) , entonces

f xy a, b   f yx a, b  .

DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL SAENZCODANIEL18@HOTMAIL.COM

3

ACTIVIDAD.
2

21. El plano x = 1 interseca el paraboloide z = x + y en una parábola. Encuentre la
pendiente de la tangente a la parábola en ( 1 , 2 , 5 ).
2

2

2

2. Encuentre la pendiente a la curva de intersección de la superficie x + y + z = 9
con el plano y = 2 en el punto ( 1 , 2 , 2 ).

3. La temperatura en cualquier punto ( x , y ) de una placa es T y T = 54 – 2/3 x2 – 4y2
. si la distancia se mide enpies, encuentre la rapidez de cambio de la temperatura con
respecto a la distancia recorrida a lo largo de los ejes x , y en el punto ( 3 , 1 ).

4. Determinar

A)

f x ; f y ; f xx ; f yy ; f xy ; f yx

y2  x2
f ( x, y ) 
xy
f ( x, y )  5 x3 y 4  x3 Seny2

E)

f ( x, y)  4x  y 2





f ( x, y )  5 x3 y 2  Sen x 2 y 2

B)

C)



para las siguientes funciones.

f ( x, y)  3 3x 2  y 2

D)4



f ( x, y )  2 x3 y 2  y 2 Senx2

F)

5. Comprobar el teorema de las derivadas cruzadas para las siguientes funciones:

A)

f ( x, y )  2 x 3 y 2  x 3 y 5

C)

f ( x, y)  x3  y 2





B)

2

D)

f ( x, y )  3e 2 xCosy
f ( x, y )  5 x 3Cosy 2  y 2 Senx2

6. Si se dijera que existe una función f( x , y ) que tiene como primeras derivadas parciales
las funciones

fx  x  4

y

f y...