Guia Analisis1

Matemática para CPN- UNSE

Unidad V - TP.Nº 5

Guía de trabajos Teórico- Práctico Nº 5

UNIDAD V:
5.1 Números Reales. Sistema Axiomático de Números Reales.
Axiomas de Cuerpo, orden y Completitud. Propiedades
5.2. Intervalos. Valor absoluto de un número real. Propiedades.
Entorno. Entorno reducido. Punto de acumulación.
5.3. Funciones Reales. Dominio e Imagen. Representación.
Clasificación defunciones. Transformación de funciones.
Algebra de funciones reales. Composición de funciones.
5.4. Límite finito de funciones reales. Definición e interpretación.
Límites laterales. Propiedades de los límites. Límites especiales.
Límites infinitos. Limite en el infinito. Límites indeterminados.
5.5. Funciones continuas. Definición. Tipos de discontinuidades.
Algebra de funciones continúas.Propiedades.
Teoremas de funciones continuas.
5.6. Ejercicios Complementarios.

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Unidad V - TP.Nº 5

5.1. Números Reales
En todo introduccion al cálculo, es muy importante el concepto de número real.
Al conjunto de los números reales lo denotaremos por R y se aceptará como ya sabemos que:
contiene, entre otros, a los conjuntos de los números naturales (N),enteros (Z) y racionales(Q).

Todos sabemos por ejemplo que 0x = 0. Es una propiedad evidente, pero
¿Se puede probar?
O bien: demostrar que si x

0 entonces x2 > 0

Definiremos el sistema axiomatico de los números reales, considerando que es suficiente
tener un marco de referencia de enunciados o axiomas, para poder deducir y demostrar
propiedades, lemas, teoremas ,como las dadas arriba.

Sistema delos Números Reales
Si llamamos con R al conjunto de los números reales y definimos dos l.c.i. en el :
+ ( suma) y . (producto) , podemos presentar al sistema de los números reales
axiomaticamente indicando:
* ( R, + , . ) tiene estructura de Cuerpo Conmutativo,
* R es Ordenado y
* R es Completo.

¿Qué significa que el conjunto de los Reales tenga estructura de cuerpo conmutativo?

Actividad 1:Completa el cuadro colocando la forma simbólica correspondiente a los axiomas de cada
operación definida, usando a, b, c y d como representación de números reales cualesquiera.
Axiomas de la suma

Forma simbólica

Asociativa
Existencia de Neutro
Existencia de opuesto
Conmutativa
Axiomas del producto

Forma simbólica

Asociativa
Existencia de Neutro
Existencia de inverso
Conmutativa
Distributivarespecto de la suma
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Recta Real:
El conjunto R de todos los números reales se puede representar geométricamente por puntos
en una recta llamada eje o recta real.
Se escoge un punto en el eje para representar al número 0. Este punto se llama origen.
Existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos en el eje, esdecir,
a cada número real le corresponde un único punto en el eje y a cada punto en el eje se le
asocia un solo número real.

y

0 1

x

¿Qué significa - y? ¿Donde se ubicará en la recta?
Supongamos que x = 2 5 .
Si bien esta a la derecha del 1 ,¿entre que números enteros se ubica x?
Si intentamos ayudamos con una calculadora y lo resolvemos obtendremos un valor, digamos
m = ………….( poraproximacion)

piense:¿Qué opción es la mas correcta: m = a o m < a ?
Par clarificar estas cuestiones presentaremos una definición y los axiomas de orden:
Relación de menor :
Si a y b son números reales, R+ es la conjunto de los reales positivos, se dice que:

a es menor que b si y solo si la suma de b con el opuesto de a ( -a) es positivo.
Simbólicamente:
a,b
R ;a b + (-a) R+
Geometricamente: a < b si ysolo si a está a la izquierda de b en la recta real.
Nota: a > 0 significa que a es positivo

y si a < 0 significará que es negativo.

Decir que R es ordenado, significa que los números reales se pueden ordenar.

Axiomas de Orden:
O1: [Ley de tricotomía]: Para cada numero real x se verifica que:
o bien es x = 0, o bien x es positivo, o bien su opuesto −x es positivo.
O2: [Estabilidad de R+] La...

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