Guia Aprendizaje Ndeg3 BAIN037 2deg2014

Instituto de Matemática

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

Universidad Austral de Chile

GUÍA DE APRENDIZAJE N°3
BAIN037 CÁLCULO I PARA INGENIERÍA
Resultado de
Aprendizaje
Contenidos

Utiliza la derivada para analizar el comportamiento de una función y
aplica dicho análisis para resolver problemas de optimización.
1.
2.
3.
4.

Monotoníade funciones.
Valores Extremos.
Concavidad de Funciones.
Asíntotas.

1. Monotonía de funciones
Definición:
Una función f es creciente en un intervalo I ssi x1  x2  f  x1   f  x2  , con x1 , x2  I
Una función f es decreciente en I ssi x1  x2  f  x1   f  x2  , con x1 , x2  I
Una función que es creciente o decreciente en un intervalo I se dice que es monótona.
Ejemplo:
La función f x  = x 2 es creciente en I1 =[0,  [y es decreciente en I 2 =]-  , 0]

Prueba para la monotonía de funciones
Sea f una función continua en un intervalo [a,b] y diferenciable en ]a,b[
1. Si f   x  >0, x  ]a,b[, entonces f es creciente en [a,b]
2. Si f   x  <0, x  ]a,b[, entonces f es decreciente en [a,b]
1

Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería – Área de MatemáticasGuía de aprendizaje N° 2

Ejemplo:
Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x)  3x 4  4 x3  12 x 2  5 .
SOLUCIÓN:
Para esto, tenemos que f   x  = 12x3 - 12x 2 - 24x = 12 x  x  2   x  1 . Ahora lo que se quiere saber
es en que intervalo f   x  <0  f   x  >0, para ello, tenemos que resolver la inecuación
12 x  x  2   x  1 <0 (o que para efectosdel ejercicio es lo mismo que resolver 12 x  x  2  x  1 >0)
Usando la tabla tenemos que:

x  1

1  x  0

0 x2

x2

-

+
+

+
+
-

+
+
+
+

x 1
x

x2
f

Con lo que se concluye que f es creciente en los intervalos [-1,0] y en [2,  [ y es decreciente en
] -  , -1] y en [0,2]

2.

Valores Extremos.

Definición:
Si c  Dom f y f   c  =0 ó f   c  no está definida, se dice que ces un valor crítico para f .
Además, si f está definida sobre un intervalo cerrado  a, b ⊂ ℝ, también son valores críticos los
extremos de dicho intervalo. El punto  c, f  c   , se dice que es un punto crítico de f .
En el ejemplo anterior c  1 , c  0, c  2 son valores críticos para f .
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2

Guía de aprendizaje N°2
Definición:
1. Si c  Domf tal que f  x   f  c  , x  Domf entonces f  c  es un máximo absoluto de f .
2. Si c  Domf tal que f  x   f  c  , x  Domf entonces f  c  es un mínimo absoluto de f .
3. En x0 la función alcanza un máximo relativo ssi existe un intervalo que contiene a x0 donde f ( x0 ) es
un máximo absoluto.
4. En x0 la función alcanza un mínimo relativo ssi existe unintervalo que contiene a x0 donde f ( x0 ) es
un mínimo absoluto.

Criterio de la primera derivada
Si c es un valor crítico de una función continua f , entonces, si:
5. f  cambia de positiva a negativa en c , f tiene un máximo local o relativo en c .
1.
2.

f  cambia de negativa a positiva en c , f tiene un mínimo local o relativo en c .

3.

f  no cambia de signo, se dice que f carece deextremos locales en c .

Ejemplo:
2

Determinar los extremos locales para la función f  x   x 1  x  5
SOLUCIÓN:
La derivada de f es

f  x 

5  7x
5 1  x 

3
5

. Los valores críticos de f es en los cuales f   x   0 o

donde ésta no esté definida. Así, los valores críticos son: 𝑐 =
la inecuación f   x  < 0, es decir,

5
7

y 𝑐 = 1. Igual que antes, resolvamos
x

5  7x
3

5 1  x 5

< 0, o equivalente:

5
7

 x  1

3
5

< 0.

Usando una tabla para crecimiento y decrecimiento tenemos:
x

5
7

5
 x 1
7

1

1 x

5
7







x 1
f







x

3

5
7



0







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Guía de aprendizaje N° 2

Notemos que en c 
c

5
, f  cambia de positiva a negativa, con lo cual se alcanza un...