Guia Calculo

guia calculo MATM114 2
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Semestre 2012

Gu´ de Ejercicios N◦ 5 ıa
Geometr´ Anal´ ıa ıtica

1. RECTA a) La ecuaci´n de un tendido el´ctrico es x + 2y = 2. Una casa localizada en (5, 3) se coneco e tar´ perpendicularmente con el tendido. a i. Grafique la situaci´n planteada en el enunciado. o ii. Encuentre una ecuaci´n para la l´ o ınea de conexi´n y escr´ o ıbala de la forma y = mx+b.iii. Calcule la longitud de la tuber´ por donde se han de llevar los cables de la conexi´n. ıa o b) La recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, −2) es paralela a la que pasa por C(0, 7) y D(a, 2) y es perpendicular a la que pasa por E(3, 5) y F (−1, b). Encuentre a y b. c) Se apoya una escalera de 3 m. de largo contra un muro, toc´ndolo a 2, 4 m. sobre el piso. a ¿Cu´l es la pendiente de laescalera? ¿Es posible que una persona de 1,80 m. de alto pase a bajo la escalera a 0,3 m. del muro? ¿Es posible que la misma persona pase bajo la escalera a 0,6 m. del muro?. Grafique la situaci´n. o d ) Demuestre que los puntos (0, 3), (2, 1), (2, 5) y (4, 3) son los v´rtices de un cuadrado e (verificar que los lados son iguales y perpendiculares) y encontrar las ecuaciones de las circunferenciasinscrita y circunscrita. (Inscrita: centro en la intersecci´n de las diagonales o y tangente a los lados. Circunscrita: centro en la intersecci´n de las diagonales y pasa por o los v´rtices). Graficar. e 2. CIRCUNFERENCIA a) Determinar el centro, el radio y trazar la gr´fica de la circunferncia cuya ecuaci´n general a o es de la forma: i. 9x2 + 9y 2 − 12x + 36y − 104 = 0. ii. 4x2 + 4y 2 + 4x + 4y − 2 =0. iii. x2 + y 2 − 16x + 2y + 65 = 0. iv. 36x2 + 36y 2 + 24x + 72y + 41 = 0.

b) El di´metro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos A(−8, −2) a y B(4, 6). Obtener la ecuaci´n de dicha circunferencia. o 1

c) Determinar los puntos donde la circunferencia x2 + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0 corta a los ejes de coordenadas. d ) Encontrar los puntos de intersecci´n de lascircunferencias x2 + y 2 − 2x + 4y = 0 y x2 + o y 2 + 2x + 6y = 0. e) La ecuaci´n de una circunferencia es x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. Determinar la ecuaci´n o o para el caso particular en que la circunferencia pasa por los puntos P (−4, 0), Q(0, 2) y R(−2, −2). f ) Comprobar que la recta 2y + x = 10 es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 2x − 4y = 0 y determinar el punto de tangencia. g) Probarque el punto P (4, 2) pertenece a la circunferencia x2 + y 2 − 2x + 4y = 20 y obtener la ecuaci´n de la tangente a la circunferencia en ese punto. o h) Una circunferencia, es tangente al eje X, pasa por el punto A(1, 1) y tiene su centro sobre la recta y = x − 1. Obtener la ecuaci´n de la circunferencia. o 3. PARABOLA a) Encontrar las coordenadas del foco y la ecuaci´n de la directriz para lapar´bola y 2 = 8x. o a b) Determine la ecuaci´n para una par´bola horizontal con v´rtice en el origen y que pasa por o a e el punto A(−2, 4). c) Escribir la ecuaci´n de una par´bola con foco en F (0, 5) y cuya ecuaci´n de la directriz es o a o y = −5. d ) Hallar el v´rtice, foco, ecuaci´n de la directriz y trazar la gr´fica de la par´bola x2 − 4x − e o a a 4y − 4 = 0. e) Determinar la ecuaci´n de lapar´bola de eje vertical, con v´rtice en V (−2, 2), sabiendo o a e que pasa por A(1, −3). f ) Demuestre que y 2 = 3x + 2y − 4 es la ecuaci´n de una par´bola. Determ´ su v´rtice, su o a ıne e foco y la ecuaci´n de su directriz. o g) Probar que una par´bola cuyo eje es paralelo al de las ordenadas, tiene una ecuaci´n de a o la forma y = Ax2 + Bx + C y encontrar la ecuaci´n de una par´bola tal que pasapor los o a puntos O(0, 0), P (1, 0) y Q(3, 6). h) Determinar los puntos donde la recta 2y − x = 4 corta a la par´bola 2y − x2 + 2 = 0. a Encontrar los puntos donde la par´bola corta a los ejes de coordenadas. Comprobar los a resultados construyendo una gr´fica. a i ) Un arco tiene la forma de una par´bola con el eje vertical, la altura de su centro es de 10 f t a y tiene en su base un claro de...