guia complemento

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemáticas
Coordinación de Matemáticas I (MAT021)
1er Semestre de 2013
Guía de Ejercicios Semana 12, Complementos: Números Complejos.1. Si z = 4

p
4 3i calcule:

a) jzj

b) Im z 27
Respuesta: a) 8, b) 0:

2. Escribir en la forma a + bi el número complejo
Respuesta: Respuesta:

i5 +2
i19 +1

2

2 + 3i
2

3.Detemine el lugar geométrico de todos los z 2 C tal que:
j(1 + i) z

(1

3i)j

1

Respuesta: Se trata del interior del círculo y el borde, con centor z0 =
4. Pruebe que si z 2 = z 2 entonces zes real o bien imaginario puro.
5. Probar que:
z 3
= 2 , jz + 5j = 4
z+3
6. Probar que si w 6= 1 es una raiz de la ecuación z n = 1; entonces:
1 + w + w2 + w3 +

+ wn

7. Sea z 2 C; tal quejzj = 1: Calcule:
jz + 1j2 + jz
8. Sea z = 2
Respuesta:

3i; encuentre z
2
13

+

1

3
13 i

9. Expresar de la forma a + bi, los números complejos:
a)

3 4i
1 4i

Respuesta:
b)19
17

+

8
17 i

1+i
1 i

Respuesta: i

MAT-021 Primer Semestre de 2013

1

1j2

1

=0

1

2i y radio r =

1
p
2

Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas

10. Encuentre las raíces de la ecuación de segundo grado:
x2
Respuesta: x1 = 3i; x2 =

ix + 6 = 0

2i

11. Encuentre las raíces de la ecuación de segundo grado:
x2 + 2x+ 2 = 0
Respuesta: x1 =

1 i
2+5i
Respuesta: 84
29

12. 3

2i +

1 + i; x2 =

1

i

+ 2i
7
29 i

13. Evaluar:

Respuesta:

1+i 2 i
1 i 2 + 2i
3
4

1
+ 4i

14. Pruebeque:
5
(1

i) (2

i) (3

i)

=

i
2

15. Calcular z tal que
z=
Respuesta:

(1 + i)5
1 + i5

4

16. Resolver la ecuación:
(7
Respuesta: z1 =
17. Si z1 = 1

i; z2 =

310

+
2

1
10 i;

z2 =

4i; z3 =

1
5

i) z 2 + (1 + 2i) z + i = 0
2
5i

p

3

2i; evaluar y simpli…car al máximo la expresión:

p
z1 + z2 + 1
+ jz3 j + 7i330
z1 z2 + i...