guia conjuntos USM

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago

GUIA 2 - Conjuntos 1◦ 2013

1. Determine en cada caso si son iguales o diferentes los siguientes conjuntos Ay B :
a ) A = {x ∈ N : (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = 0},
b ) A = {2k − 1 : k ∈ Z},

B = {x ∈ Z : 0 < x < 5}

B = {2k + 1 : k ∈ Z}

c ) A = {x ∈ Z : x = 2n + 1},

B = {x ∈ Z : x = 4n − 1}d ) A = {4n + 1 : n ∈ Z},

B = {2n + 3 : n ∈ Z, n es par}

e ) A = {3n + 1 : n ∈ Z},

B = {3n − 2 : n ∈ Z}

f ) A = {4n + 1 : n ∈ Z},

B = {2n : n es un entero impar}

2. Sean A0 = {3n :n ∈ Z}, A1 = {3n +1 : n ∈ Z}, A2 = {3n +2 : n ∈ Z}.
Pruebe que estos conjuntos son disjuntos dos a dos, es decir, si i = j entonces
Ai ∩ Aj = ∅. ¿Qué puede decir de A0 ∪ A1 ∪ A2 ?
3. Sea:
A = {x∈ N | x es impar ∧ x ≤ 11}
B = {x ∈ N | (∃k ∈ N : x = 3k ) ∧ (x ≤ 12)}
C = {x ∈ N | x ≤ 12}
Expresar cada uno de los conjuntos siguientes en términos de uniones, intersecciones, complementos ydiferencias de A, B , C :
a ) El conjunto de los números pares del 2 al 12
b ) El conjunto de los elementos de C que al dividirlos por 3 dejan resto 2
c ) El conjunto {3, 9}
d ) El conjunto {2, 3, 4, 6,8, 9, 10, 12}
4. Sean A, B conjuntos en un universo referencial U . Definimos la “ diferencia simétrica ” entre A y B como A∆B = (A − B ) ∪ (B − A).
a ) Si A = {1, 3, 4} y B = {1, 5, 7}, determine A∆ B
b ) Demuestre que ∀A, B :
c ) Determinar (A∆∅) ∩ Ac ,

A∆B = B ∆A
∀A.

d ) Si A = {x ∈ N : x2 > 11},
B = {x ∈ R : x2 + 1 > 11}
C = {x ∈ Z : 2x + 1 > 11}, determine
A∆B
A∆C

B ∆C(A∆B )∆C

5. Demostrar que C \ (B \ A) = (C \ Ac ) ∪ (C \ B )

y

A∆(B ∆C )

6. Demostrar que A \ (A \ B ) = B \ (B \ A)
7. Si A, B ⊂ U , usando propiedades de las operaciones de conjuntos,simplificar
A ∪ ((A − B ) ∩ B ) ∪ (Ac ∪ B )c
8. Demuestre o refute cada una de las siguientes:
a) A ∪ B = C ∪ B

=⇒

A=C

b) A ∩ B = C ∩ B

=⇒

A=C

c ) (A ∩ B ) \ (A ∩ C ) = (A ∩ B ) \...