Guia de calculo 1 (funciones)

Cálculo Diferencial e Integral - Funciones (Parte II). Objetivos a cubrir

Farith J. Briceño N. Código : MAT-CDI.3

Función par, impar, creciente, decreciente e inyectiva. Identidades trigonométricas. Funciones trigonométricas. Operaciones de funciones trigonométricas: suma, diferencia, producto, cociente y composición. Formulación de funciones. Dominio admisible. Ejercicios resueltos Ejemplo1 : Demostrar la identidad csc x = Demostración : Es conocido que csc x = así, 1 1 + cos x cos x cos x 1 cos x cos x 1 cos x = = + =) csc x = + sen x sen x sen x sen x sen x sen x aplicando la conjugada trigonométrica al segundo sumando de la última igualdad, tenemos csc x = 1 cos x (1 cos x) (1 + cos x) 1 cos2 x = = ; sen x sen x (1 + cos x) sen x (1 + cos x) sen2 x + cos2 x = 1; se tiene que,sen2 x = 1 luego 1 por lo tanto, csc x = 1 cos2 x sen2 x sen x cos x = = = sen x sen x (1 + cos x) sen x (1 + cos x) 1 + cos x cos x sen x + sen x 1 + cos x F Ejemplo 2 : Diga si la función f (x) = jxj x2 es una función par, impar ó ninguna de las dos sen x + cos x =) 1 cos x sen x = sen x 1 + cos x cos2 x; 1 ; sen x

cos x sen x + sen x 1 + cos x

De la identidad básica trigonométricaSolución : Es conocido que una función f es par, si y solo si f ( x) = f (x) para todo x 2 Dom f y f es impar, si y solo si f ( x) = para todo x 2 Dom f , así, f ( x) = puesto que sen ( x) =
2

f (x) jxj x2 ; sen x + cos x

j xj ( x) = sen ( x) + cos ( x)

sen x (función impar) y cos ( x) = cos x (función par). Observemos que f ( x) 6= f (x) y f ( x) 6= f (x) F

por lo que concluimos que f noes una función par, ni impar.

1

Ejemplo 3 : Determine la grá…ca de la función usando traslaciones g (x) = 8 3x x 2

Solución : Observemos que la función g se puede escribir como g (x) = 2 8 3x = x 2 x 2 3 1 x
y 25 25

así la función básica asociada a g es la función hipérbola básica f (x) =
y

12.5

12.5

0 -2.5 -1.25 0 1.25 2.5 x -12.5

f (x) =

1 x 2
0 -2.5 -1.25 0 1.252.5 x -12.5

!

-25

-25

#
y

f (x) =

2 x 2

y

50

25

25

0 -2 0 2 4 x 6

f (x) =

2 x 2

3
-5 -2.5

0 0 2.5 x 5

-25

-25

-50

F Ejemplo 4 : Represente grá…camente la siguiente región del plano jxj + jyj Solución : Consideremos la expresión jxj + jyj ( x si x 0 jxj = x si x < 0 de donde se desprende los siguientes casos Caso I : Si x Caso II : Si x 0 yy 0, entonces la desigualdad jxj + jyj 1 nos queda x + y 1 nos queda x 1 nos queda 1 nos queda y x+y x y 1 1 1 1 1; x2 + y 2 9

1, por de…nición de valor absoluto se tiene ( y si y 0 y jyj = y si y < 0

0 y y < 0, entonces la desigualdad jxj + jyj 0, entonces la desigualdad jxj + jyj

Caso III : Si x < 0 y y

Caso IV : Si x < 0 y y < 0, entonces la desigualdad jxj + jyj 2

Tenemos lagra…ca de la expresión jxj + jyj

1

por otro lado, x2 + y 2

9 representa la parte interna del circulo de centro el origen y radio r = 3,

luego la región buscada es la intersección de ambas regiones

F Ejemplo 5 : Diga en que intervalo la función h (x) = es creciente ó decreciente Solución : Una función f es creciente es un intervalo I si, para todo x1 ; x2 2 I, tal que x1 < x2 se tieneque f (x1 ) < f (x2 ), es decir, x1 < x2 =) f (x1 ) < f (x2 ) ; mientras que, una función f es decreciente es un intervalo I si para todo x1 ; x2 2 I, tal que x1 < x2 se tiene que f (x1 ) > f (x2 ), es decir, x1 < x2 =) f (x1 ) > f (x2 ) : 3 2x 5 x+3

Observemos que la función h se puede escribir como h (x) = y que Dom h = R 2x 5 =2 x+3 11 x+3

f 3g, sean x1 ; x2 2 Dom h, tal que x1 < x2Multiplicamos por 1 1 > x1 + 3 x2 + 3 # =) 11 11 x1 + 3 x2 + 3

=) 2 "

1 Aplicamos ()
(la desigualdad cambia)

Sumamos 2
(la desigualdad se m antiene)

con lo que, x1 < x2 es decir, x1 < x2 Ejemplo 6 : Dibuje la región limitada por x = 2 Solución : Gra…camente
y 1.5

=) =)

2

11 0 2: cot x > 0 y csc x < 0 3: cos x > 0 y tan x < 0

14. Transformar a radianes los siguientes...