guia de calculo 1

Universidad Andr´s Bello
e
Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ingenieria
Calculo II FMM-130
Ayudante: Francois Moraga

Ejercicios Resueltos ayudantia 7
2do Semestre 2008

Problema 1Use el m´todo de los discos para hallar el volumen del s´lido generado al
e
o
girar la regi´n dada entre los limites dados sobre el eje indicado.
o
Problema 1.a Limitada por y = x + 1 y = 0 x =1 x = −1, alrededor del eje OX
Soluci´n
o

Para este caso tenemos que la regi´n esta dada por la siguiente curva:
o

Luego, el volumen pedido es:
1

(x + 1)2 dx = π

V = π
−1

Problema2
Soluci´n
o

Limitada por y =

√

(x + 1)3
3

1

=
−1

π 3
8π
2 − 03 =
3
3

x; x = 4 ; y = 0, alrededor del eje Ox.

Haciendo un bosquejo del problema, tenemos que:Entonces, el volumen pedido es:
4

V = π

x dx =
0

0

Problema 3

4

√
( x)2 dx = π

πx2
2

4

= 8π
0

Limitada por y = x2 ; y = 3 − 2x, alrededor del eje Ox.

Soluci´n Comoprimer paso calcularemos los puntos de intersecci´n los cuales se obtienen
o
o
al igualar las curvas, de esta forma tenemos que los puntos de interseccio´n son x = −3 y
o
x = 1. Luego realizamos elgr´fico del problema obteniendo lo siguiente
a

Entonces, el volumen generado al rotar las curvas en torno al eje Ox esta dado por:
1

V

(3 − 2x)2 − (x2 )2 dx

= π
−3

π (3 − 2x)3
2
32176π
30

1

−

= −
=

−3

π x5
5

1
−3

Problema 2 Use el m´todo de los anillos (arandelas) para encontrar el volumen del s´lido
e
o
generado por:
Problema 2.a La rotaci´nalrededor de la recta y = 2 de la regi´n encerrada por las
o
o
curvas y = x y y = x2 .
Soluci´n
o

Observe que la regi´n formada por las curvas y = x y y = x2 es:
o

En este caso observe que elvolumen generado por la curva anterior es igual al volumen
generado por las curvas y = 2 − x2 e y = 2 − x cuando giran en torno al eje Ox, este proceso
consta de una reflexi´n y traslaci´n en ambas...