Guia de calculo vectorial esimez

Rectas y planos
1. Suponga que desea escribir una ecuación para una recta L del espacio. ¿Qué información mínima se requiere para poder hacerlo?

2. Suponga que le dan dos puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) por donde pasa una recta L. ¿Cómo escribe una ecuación vectorial de la recta?

3. Sea r(t) = (x1, y1, z1) + t (a1, 0, a3) la ecuación vectorial de una recta. Escriba susecuaciones paramétricas y su forma simétrica.
4. Suponga que la forma simétrica de una recta L es . Escriba una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta L.
5. a) Escriba una ecuación vectorial para la recta L que pasa por A(1, 2, 3) y tiene como vector director al vector a = -2i + 3j +k
b) Escriba las ecuaciones paramétricas y la forma simétrica de la recta L
c)Determine las coordenadas de dos puntos sobre la recta L diferentes de A
d) Determine si el punto (-4, 2, 0) cae sobre L
6. a) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por A(-1, 2, 1) y B(2, 2, 3)
b) Escriba una ecuación vectorial y la forma simétrica de L
c) Escriba una ecuación vectorial de una recta L1 que pasa por C(1, 1, 1) y es paralela a la recta L
d) Demuestre que larecta L2 con ecuación vectorial dada por r = <0, 1, 2> + s< -2, 0, 3> es ortogonal a L1
7. Demuestre que el punto A(1, 2, 3) no cae sobre la recta L cuyas ecuaciones paramétricas son x = - 4 + t, y = 1 - 2t, z = 3 – 2t. Calcule la distancia de A(1, 2, 3) a la recta.

8. Suponga que una ecuación de un plano está dada por
a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0
¿quérepresentan (x1, y1, z1) y <a, b, c>?
9. Suponga que conoce tres puntos por donde pasa un plano. Explique cómo puede escribir su ecuación.
10. Sea A(1, -1, 2) y N = 2i – 3j +k
a) Escriba una ecuación del plano Φ que pasa por A y tiene como vector normal a N
b) ¿El punto B(0, 2, -3) está sobre el plano? Justifique su respuesta
c) Determine las coordenadas de dos puntos sobre elplano Φ, distintos de A

11. Repita el ejercicio anterior si ahora A(2, 0, 3) y N = <-3, 4, 0>
12. La ecuación de un plano Φ1 es y – 3 = 0. Indique las coordenadas de un punto sobre el plano
13. Determine una ecuación para el plano que pasa por A(1, 1, 1), B(-1, 2, 0) y C(3, -2, 2)
14. Repita el ejercicio anterior si A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3)
15. Determine silos planos del ejercicio 10 y 11 se intersectan, si es así determine las coordenadas del punto de intersección.
16. ¿Cómo se puede determinar si dos planos son paralelos?, y ¿cómo se puede determinar si son ortogonales?
17. Considere los planos de los ejercicios (13) y (14), determine:
a) Si son paralelos u ortogonales
b) Si se intersectan; de ser así, determinar las coordenadas delos puntos de intersección
18. Encuentre la traza de la superficie dada en los planos x = k, y = k, z = k.
a) 4y = x2 + z2
b) 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36
c) x2 + 4z2 – y = 0
19. Dibuje la gráfica del cilindro indicado.
a) y2 + z2 = 9
b) z = e-x
c) z = sen(x)

Funciones vectoriales
1. Sea r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k

a) ¿Cómo determina el dominio de lafunción?
b) Bajo que condiciones se dice que la gráfica de r(t) es una curva C
c) Si C es la curva que describe r(t), ¿cuáles son sus ecuaciones paramétricas?
d) ¿Cómo se obtiene el sentido de recorrido de una curva?
e) Si la curva es cerrada, ¿cuándo se dice que el sentido de recorrido de la curva es positivo?f) Si r(t) está definido para tϵa, b ¿qué coordenadas tiene el punto inicial de la curva? y ¿el punto final?

2. Indique el dominio de las siguientes funciones y trace la curva que describen.

a) r(t) = 2t i + (2t –...