Guia De Calculo

UNIDAD 1
PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE
Propósitos. Explorar diversos problemas que involucren procesos infinitos a
través de la manipulación tabular, gráfica y simbólica para propiciar un
acercamiento al concepto de límite.
En la Unidad sigui ente, pretendemos que:
Resuelvas problemas de diversos contextos que involucran en su solución,
procesos infinitos.
Utilices lasrepresentaciones gráfica, tabular y algebraica de un proceso
infinito para analizar su comportamiento en cuanto a: cómo cambia la variable,
qué comportamiento sigue, cuáles son los valores siguientes, qué tan
parecidos son y a la larga, cómo son éstos.
 PROCESOS INFINITOS.
Definición. Proceso Infinito, entenderemos por Proceso a toda acción que
produzca un resultado, será infini to, si cada vez quetengamos una acción se
puede realizar la acción siguiente.
Ejemplo 1. Considera el proceso siguiente en el cual se muestran las primera s
cuatro acciones a las que le llamaremos pasos. Determina si es infinito o no.

5, 5 5, 5 5 5 ,

5 5 5 5 ,...

Solución. En el primer paso debemos calcular la raíz de cinco, es decir,
5
2.236067977 (aproximación a 9 dígitos) . En la segunda accióndebemos
calcular 5 5 cuyo valor a 9 dígitos es; 3.343701525 , a cada nueva acción se le
multiplica por cinco y se vuelve a extraer la raíz cuadrada, como se puede hacer la
acción siguiente, este proceso es infinito 1.
Ejemplo 2. Evalúa la función a (n) n 2 para sus primeros ocho valores, con n un
número natural.
En forma de tabla podemos escribir los primeros ocho valores de la función
a losque llamaremos términos de la función como:
n
a ( n)

1
1

2
4

3
9

4
16

1

5
25

6
36

7
49

8
64

Un conjunto es infinito, si se puede hacer corresponder una biyección entre el conjunto y un subconjunto
p ropio de él. Nota de la redacción .

1

Sin embargo podemos dar números naturales mayores a 8 y continuar
evaluando a la función descrita anteriormente,dado que este proceso (evaluar a la
función) es infinito, podemos decir que el número n crece tanto como queramos.
Definición. Un número n crece indefinidamente, si cada vez que se da un número
natural M , se tiene que: n M . En este caso diremos que n tiende a infinito y lo
denotamos por n
.
Observa que

no es un número.

En la literatura matemática a las funciones que tienen como dominioa los
números naturales se les exp resa como a n en lugar de a(n) , así en el ejemplo
anterior tendríamos como primer término a(1) a1 1 , como segundo término
a(2) a2 4 y así sucesivamente.
n1
, calcula los primeros o nce términos,
n
observa su comportamiento y conjetura un valor cuando n crece indefinidamente.

Ejemplo 3. Considera a la función an

11 2
21 3
2 , el segundo a2
1.51
1
2
2
resumiendo este proceso en una tabla se tiene para los primeros o nce términos.

Solución: El primer término es a1

n
an

1
2

2
1.5

3
1.33

4
1.25

5
1.2

6
1.167

7
1.143

8
1.125

9
1.11

10
1.1

11
1.09

Como nos damos cuenta, los términos de a n decrecen conforme el valor de
n crece, pero no decrecen arbitrariamente, ellos se vanaproximando al número 1,
podemos conjeturar que si n
entonces a n se aproxima a 1.
En Matemáticas cuando una expresión, en nuestro caso una función a n , se
L (en el
aproxima a un número L (en el ejemplo al número 1), escribimos an
ejemplo an 1 ).
En general, decimos que una expresión a n se aproxima a un número L ,
cuando n crece indefinidamente, si la distancia an

L entre ellos es cada vez
Lsi n
más pequeña y lo escribimos de la manera siguiente : an
, estas
expresiones se sintetizan con la notación siguiente:
lim an

n

2

L

(1)

Es muy útil saber el valor de lim r n cuando r es un número que está entre
n

-1 y 1, en símbolos

1 r 1, con este propósito, realicemos el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4. Calcula lim r n cuando
n

1 r 1.

Solución: Para fijar...