Guia De Calculo

Curso : CALCULO I

Profesores: Dra.M.Cecilia Corona V. Sr. Carlos Martinez Sr.Moises Miranda S.

GUIA DE EJERCICIOS NUMEROS REALES

P1.-

Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando claramente su respuesta. a) Todo número real posee inverso aditivo. b) Todo número real posee inverso multiplicativo. c) Para cualquier par de reales x e y es cierto que: i) x + y = x− y ii)

x ⋅ y = x ⋅ ( y + 0)

iii)

x ⋅ x −1 = 1 + 0

d) Existe un real que no posee inverso multiplicativo. e) Para todo real x se tiene que: i)

(x )

2 4

= x6

ii)

(x )

−2 3

= x−5

iii)

(x ) )

− 2 −9

= x18

P2.-Demostrar, utilizando los axiomas de cuerpo de los números reales que:

∀x, y ∈ IR; x, y ≠ 0 : ( x + y ) x −1 ⋅ y −1 = x −1 + y −1
En cada pasodiga cuál o cuáles axiomas o propiedades está utilizando.

(

P3.-Demuestre utilizando sólo los axiomas de cuerpo de los números reales que:

∀x, y ∈ IR; x, y ≠ 0 : ( x ⋅ y ) = y −1 ⋅ x −1
−1

P4.-

Enuncie la propiedad de los números reales que se está usando: a) b) c) d) e) f) g) h)

2x + y = y + 2x c ( a + b ) = ( a + b )c ( x + y) + 5 z = x + ( y + 5 z ) 2( w + x ) = 2 w + 2 x 3(5x + 1) = 15 x + 3 ( xy ) S = x( yS ) ( x + a )( x + b) = ( x + a ) x + ( x + a )b a ( x + y + z ) = ax + ay + az

P5.-

Utilice las propiedades de los números reales para escribir la expresión sin paréntesis: a)

3( x + y ) b) 8( a − b) c) 4( 2m) d) 1 (10 z ) 2
e)
4 3

( −6 y ) f) − 2( r + s ) g) − 5 (2 x − 4 y ) 2
P6.Diga si cada una de las desigualdades es verdadera o falsa: a)

−6 < −10

b) f)

2 > 1.41

c)

10 11

<

12 13

d)

− π > −3

e) 8 ≤ 8 P7.-

1.1 > 1.1

Escriba cada uno de los enunciados en términos de desigualdades: a) x es positivo. b) t es menor que 4. c) a es mayor que o igual a d) x es menor que
1 3

π

y es mayor que –5.

e) La distancia máxima de p a 3 es 5.

P8.-

Exprese el intervalo en términos de desigualdades ygrafíquelo: a) b) c) d) e) ( -3, 0 ) ( 2, 8 ] [ 2, 8 ) [ -6, ½ ] [ 2, ∞ )

P9.P10.P11.-

Demuestre que si

a ≠ b y c ≠ a ⇒ a 2 + b 2 + c 2 > ab + ac + bc .
a < b ⇔ a 2 < b2 .

Demuestre que si 0 < Sean a)

a, b, c ∈

+

, probar que:

(a + b)(b + c)(a + c) > 8abc . 2ab 2bc 2ac b) + + < a+b+c. a+b b+c c+a c) ab( a + b) + bc (b + c ) + ac ( a + c ) > 6abc .

P12.-

Resolver lassiguientes inecuaciones: a)

3x > 6 ∧ 2 x < 10 .

R:

x ∈ ]2,5[

2x x2 − 3 1 x b) − + < . 3 2x 2 6
c)

R:

]−3, 0[
 3 , 4 2 

x +1 > 1. 2x − 3

R:

d)

1 3 + ≥ 5. x 2x 1 1 − < 0. x−3 x+2 2 x − 8 ≤ 6 − 5 x ≤ 2 − 3x .

R:

]0, 12 ]
]−2,3[
{2}

e)

R:

f)

R:

g)

3x 2 + 2 x − 1 > 2. x2 − 1
x2 − 5x + 4 < 0 .

R:

]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ ]1, 4[ ]−1,1[

h)

R:x2 ≤1. i) 2 x −1
P 13.- Sean las inecuaciones :

R:

x2 + 1 ≤ 2 x − 3

y

x2 + 1 ≤ ( 2 x − 3 ) 2

Determine si tienen el mismo conjunto solución. Solución: no tienen el mismo conjunto solución. P14.La fuerza gravitacional F ejercida por la tierra sobre un cuerpo de masa 100 kg está dada por la ecuación:

F=

4,000,000 d2

donde d es la distancia ( en km ) desde el cuerpo alcentro de la tierra, y la fuerza F se mide en newtons ( N ).¿Para qué intervalo de distancia la fuerza gravitacional estará entre 0.0004 N y 0.01 N?

P15.-

Un taller que fabrica implementos de camping fabricó cierta cantidad de sacos de dormir, de los cuales se vendieron 40, quedando por venta más de la mitad. Luego se fabrican otros 4 sacos y se venden 22, quedando en stock de menos de 27sacos. Calcular el número máximo de sacos de dormir que pudo haber fabricado el taller. R: 84 sacos.

P16.-

Un número entero positivo excede a otro en 5 unidades y su suma no supera a 29.¿Cuáles son los números enteros positivos que verifiquen esta condición? R: Los números son 11 y 16. Un cliente se dirige a una farmacia y adquiere un paquete de algodón de 125 gramos. El vendedor le...