Guia de circunferencia

GEOMETR´ ANAL´
ıA
ıTICA Parte 2-Resumen de contenidos
Definici´n de Circunferencia: Dado un punto fijo C(h, k) del plano cartesiano y una raz´n
o
o
r > 0, llamaremos circunferencia alconjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a
una distancia r del punto fijo C; al punto fijo C lo llamaremos centro y la raz´n r radio. Dicho
o
conjunto se expresa por C = {(x, y) ∈ R2 : d((x,y), (h, k)) = r}; de aqu´ se sigue que la ecuaci´n de
ı
o
2 + (y − k)2 = r 2 .
la circunferencia con centro (h, k) y radio r es: (x − h)
Por otra parte si el centro es el origen de coordenadasO(0, 0), y el radio es r, entonces la ecuaci´n
o
ser´: x2 + y 2 = r2 .
a
Definici´n: Dada una circunferencia, se observan los siguientes elementos: El punto C es el centro
o
de la circunferenciaAB es un di´metro, CD un radio, EB una cuerda, T un punto de tangencia,
a
CT radio de tangencia y por tanto perpendicular con la recta tangente, DB un arco. Tal como lo
indica la siguiente figura:ta Ta
Rec

T

nge

nte

R

ad

io

D

A

Diámetro

B

C
Cu

er

da

E

Figura 1: Elementos de la Circunferencia

Ejemplo: Dada la circunferencia C, de ecuaci´n x2 −2x + y 2 + 4y = 4, y la recta L, de ecuaci´n
o
o
y = −2x + 20, encuentre la ecuaci´n de la circunferencia conc´ntrica con C y tangente a la recta L.
o
e

Soluci´n: Dado que la circunferenciasolicitada es conc´ntrica con C, estas comparten el centro,
o
e
para encontrar el centro de C completamos cuadrado de binomio:
x2 − 2x + y 2 + 4y = 4
x2 − 2x + 1 + y 2 + 4y + 4 = 4 + 1 + 4
(x2 −2x + 1) + (y 2 + 4y + 4) = 9
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 32
Por lo tanto el centro es el punto (1, −2). Para calcular el radio de la circunferencia solicitada
debemos calcular la distancia entre elcentro (1, −2) y la recta L, esto es:
r = d((1, −2), L) =

|2 · 1 − 2 − 20|
20
√
=√ .
5
22 + 1 2

Finalmente la ecuaci´n solicitada es: (x − 1)2 + (y + 2)2 = 80.
o
Taller Circunferencia
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