Guia De Derivadas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO
PROGRAMA DE INGENIERÍA
UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO I

DERIVADAS

Autor: Ing. Roger J. Chirinos S., MSc.Ciudad Ojeda, Febrero de 2011

PENDIENTE DE UNA CURVA EN UN PUNTO
La derivada está asociada a la noción de “pendiente de una función”. Paracomprender esta idea, es necesario considerar el gráfico una función arbitraria y=f(x), el cual es intersecado en dos puntos diferentes P(x1,y1) y Q(x2,y2) por una recta secante:

La pendiente de la rectasecante PQ, viene dada por la expresión:
mPQ=
(y2-y1)
(x2-x1)
Si se mueve el punto Q a lo largo de la curva y se aproxima al punto P, la secante PQ se transformaprogresivamente en las rectas secantes S1,S2,…, y llega a la posición de límite mostrada por la recta L1, independientemente de que Q se encuentre a la derecha o izquierda de P. La recta L1, se llamará la “rectatangente a función f(x) en x=x1”. Vale la pena hacer notar que en determinadas funciones no es posible obtener esta recta y se dirá entonces que la función no posee tangente en dicho punto.
Como larecta tangente es la posición límite de un conjunto infinito de rectas secantes, tiene sentido pensar que la pendiente de la curva en un punto P corresponde al valor límite de las pendientes de lasrectas secantes que se obtienen a medida que un punto arbitrario Q se aproxima a P.
Dado que en los puntos P y Q se sabe que y1=f(x1) y que y2=f(x2), por simple sustitución en la fórmula de pendiente, setiene
mPQ=f(x2) -f(x1)x2-x1
Si se llama “h” la diferencia entre las abscisas de ambos puntos, es decir x2-x1= h. entonces x2= x1+h y la expresión que define la pendiente de la recta PQ, queda comosigue
mPQ=f(x1+h ) -f(x1)h
A medida que Q se aproxima a P, entonces x2 se hace más próximo a x1, o lo que es lo mismo, “h” se acerca a cero. El límite de este cociente, cuando “h” tiende a cero,...