guia de ecuacunes

UCV-INGENIERÍA

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Tema 3:
La Transformada de Laplace
Contenidos programáticos
3.1-

Definiciones preliminares. Definición de Transformada de Laplace. Condición
suficiente para su existencia.

3.2-

Transformadas de algunas funciones elementales. Propiedades. Primer teorema de
traslación. Función escalón unitario.Segundo teorema de traslación.

3.3-

La transformada inversa. Teorema de Lerch.

3.4-

Transformadas de la derivada, de la integral, de funciones periódicas, multiplicación
y división por t. Teorema de Convolución.

3.5-

La Función Impulso Unitario o Delta de Dirac. Propiedades. Transformada de la
Función Delta de Dirac.

3.6-

Aplicación de la Transformada de Laplace en lasolución

de ecuaciones

diferenciales lineales, ecuaciones integrales e integro-diferenciales.
3.7-

Aplicación a la solución de problemas de vibraciones mecánicas y eléctricas.

Prof. Gerardo Ramírez

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ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Problemas propuestos sobre Transformada de Laplace
1.- Usando la definición encuentre la transformada de Laplace de las
siguientesfunciones:
−s

2t − 3 si 0 ≤ t < 1
a) f ( t ) = 
si
t ≥1
 0
0 si 0 ≤ t < 1
b) f ( t ) = 
t ≥1
 t si

2
2 e 
1
1 − 
R: F(s)=  − 3 +  +
s
s
s 
s
R:

F(s)=

−s


1 +
s 

e

1

s

2.- Utilice la tabla de Transformadas de Laplace y las propiedades de la misma
para hallar las transformadas de las funciones dadas.
a) t2 + 5t + 1
b) 3(t + 2 )3
c)t (1 +
d)

e

3t 2

)

R: F(s)= 2/s3 + 5/s2 + 1/s
R: F(s) = 18 4 + 36 3 + 36 2 + 24 s
s
s
s
R: F(s) = 1 s 2 + 2 (s − 3) 2 + 1 (s − 6) 2
2
(s − 1) 2 − 4
300s
R: 2
s + 4 s 2 + 64

t

e senh 2t

R: F(s) =

e) 10 sen5t sen3t

(

f) cos2t

R:

g) sen3 t

R:

)(

)

1 1
s 

 + 2
2 s s + 4
6
4
s + 10s 2 + 9
−3s

h) 4(t-3) H (t-3)

R:

0
i)f ( t ) =  2
t

R:

si 0 ≤ t < 1
si
t ≥1

 t si 0 ≤ t < 4
j) f ( t ) = 
t≥4
0 si

Prof. Gerardo Ramírez

R:

4e

s2

2
1  −s
2
 3 + 2 + e
s
s 
s
−4 s

1 1 e
− 4s
 −
− 4e 
s

s
s


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k) t sent

2

l) t cos t

R:

m) t e-4t cos2t

R:

n) Cosh(at) sen(at)

1
(senat − at cosat )
2a 3

3

q) (t -1)

e

(t -1)

H (t - 1)

 t
8 − 3t

f (t ) = 
r)
t − 4
 0


Prof. Gerardo Ramírez

(s

si 0 ≤ t < 2
si 2 ≤ t < 3
si 3 ≤ t < 4
si
t≥4

2

)

+1

2

2 
1 1
 − 4−s 
2
2  s2
s2 + 4 



(

)

(s + 4 )2 − 4
[(s + 4 )2 + 4 ]2

(

a s 2 + 2a 2
R:
s 4 + 4a 4

R: −

o) U (t- π) cost

p)

2s

R:

e− πs

)

s

s2 + 1
1

R:

(s
R:

2

+ a2

)

2

6e − s

( s − 1)

4

1 − 4e−2 s + 4e −3s − e−4 s
R:
s2

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L

3.- Determine la transformada inversa de Laplace
funciones:

(s + 2)3
a)
s4

-1

{F(s)} de las

4
R: 1 + 6t + 6t 2 + t 3
3

b)

4s
4s 2 + 1

R: cos(t/2)

c)

1
s 2 + 6s

R:d)

4s + 1
s2 − 9

1
1 − e −6t
6

(

)

R: 4 cosh 3t + 1/3 senh 3t

1
e)
(s + 4)3

t 2e −4 t
R:
2

s
f) 2
s + 4s + 8

R: e − 2 t ( cos 2 t − sen 2 t )

g)

1
(s + 1)(s + 3)

h)

s
s2 + 1 s2 + 5

(

)(

Prof. Gerardo Ramírez

R:

)

R:

1
2

( e − t − e − 3t )

1
cos t − cos 5t
4

(

)

UCV-INGENIERÍA

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)4.- Halle la transformada de Laplace de cada una de las funciones f (t) dadas a
continuación
t
8 s2 + 2
2
a) f ( t ) = t 0 sen udu
R: 3 2
2
s s +4

(
(

∫

)
)

b) f (t) = t si 0< t < 1
y f (t+1) = f (t) (función onda dientes de sierra)

1 si 0 < t < a
c) f ( t ) = 
0 si a < t < 2a

1
e− s
R: 2 −
s
s (1 − e − s )

1
s (1 + e − as )

R:

y f (t+2a)=...