Guia De Ejercicios De Integrales Definidas 2015 I

Universidad Politécnica
“Antonio José de Sucre”
Vicerrectorado Puerto Ordaz
Departamento de Estudio Generales
Cátedra de Matemáticas II
Prof. Mariela Lezama.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA INTEGRALES DEFINIDAS.
1. Calcule la integral definida de cada función dada en el intervalo indicado. usando
la suma de Riemann. Además.
Mediante un análisis de la gráfica de cada función en el intervalo dado. Diga siel
resultado obtenido por la integral definida en el inciso a) representa el área de la
región definida.
3

2

a)

f ( x )=x + x −4 x −2;

b)

f ( x )=x +2 x ; [ −2,1 ] Resp .

c)

f ( x )=−mx ; m>0 ; x=a x=b ; b>a> 0

d)

f ( x )=3 x 2−1 ; [ 0,2 ] Resp . 6

e)

f ( x )=x 2 +2 x +1 ; [ −1,2 ] Resp .

f)

f ( x )=3 x 4 ; [ 0,1 ] ; Resp .

g)

f ( x )=2 √ x ; [ 0,4 ] ; Resp .

h)

f ( x )=( x +3 ) ;[−3,0 ] ; Resp .9

i)

f ( x )=2−|x|; [−2,2 ] ; Resp . 4

[-2,2]

3

−27
4

64
3

3
5
32
3

2

2. En los siguientes casos calcule

j)

Resp .

lim

n →∞

(

n

∑ f ( Ci )
i=1

)

∆i x

2 i2
f ( x )=√ x ; y =0, x =0 ; x=2; usar Ci = 2
n

(

)

−8
3

3

(

3

k)

f ( x )=√ x ; y =0, x =0 ; x=2; usar Ci =

l)

1
f ( x )= ; y=0 ; x=1 ; x=6
x

m)

f ( x )=|x−1|; y =0 ; x=1; x =6

n)

f ( x )=2−|x|; y=0 ; x=−2; x=2

i
3
n

)

3. Usando el 2do teorema fundamental, calcule: la siguientes integrales
3
2

o)

∫ ( x+ 1x ) dx
1
2

0.53

p)

∫

arcsen ( x )

√1−x2

0

1

q)

∫
−1

x

( 1+ x 2 )

4

dx

dx

2

r)

∫ ( x−1 ) √ 2−x dx
−1
1

s)

∫
−2
1/ 2

t)

∫
0
2

u)

∫

1/ 2

√

−21
dx
x

x− √ arctg ( 2 x )
dx
2
1+ 4 x

| |

ln ( x )
dx
x

2

v)

∫ √ x √ 1+ x √ x dx
0

a)

d)

3

 3
4

3  x dx
x1

 1 x  3

dx

b)

e)

1

 1
1

x  x dx

0  y  1.

1  y dy

c)

f)

1

0

dx
x  1 x


tg ( x )
4
dx
0 1  sen2 ( x )



4. Realice un análisis de las siguientes afirmaciones. Y Decida si verdaderas o falas.
Justifique su respuesta.
a

∫ f ( x ) dx=0

a. Si

entonces

f ( a )=0 .

entonces

f ( x)≥0

a
b

b. Si

∫ f ( x ) dx ≥ 0

c. Si

'
F ( x ) =f ( x ) para todo

a

para todox ∈ [ a ,b ] .

x ∈ [ a ,b ] .

d. Si f y g son funciones continuas en

f (x)
[a , b] entonces h ( x )=
g ( x)

es

[a , b] .

integrable en

e. Si f es un función impar y continua en

[−a , a ] entonces

a

∫ ( b+ f ( x ) ) dx=−2 ab

f.

−a

.

1

g. El valor de

1
dx
∫ 1−x
1

es cero.
sen (x)

h. Si F está definida por

F ( x )=

∫

arcsen (t) dt , entonces

4

F' ( x ) =xcos( x ) .
i.

Lafunción F está definida por

j.

P 
k.

l.

F ( x )=sec ⁡( x ) es integrable en [0, π ]

b a
n

b a
P
n
Si

n  

entonces

m. Si

.

P  0
, entonces

xi  xi  xi  1

, para todo

P xi

i = 1,2,..., n.

n.

entonces el número de sub-intervalos de la partición tiende a

P  0
infinito.
o.

n 1
 a i  a i  1  a 0  a n  2 a i
i 1
i 1
n





5. Expresar los siguientes límites comouna integral definida.





 n i 2 n2  i 2 
1 n
i 
 n 2 2




a ) Lim  
b
)
Lim
Ln
a

c
)
Lim
n i
  n   n    

n 
n   n
n5
i 1
 i 1 

 i 1





 i 
 n sen  
2
n
 n   e) Lim 7i  9 
d ) Lim  

3
n  
n  
n 1 
n 
i 1
i 1 n








 1

2





n
 n

f ) Lim  

2
n 
 i 1 1  2n  2n 

6. Hallar el valor promediode cada función en el intervalo dado, además encuentre
todos los valores de x donde la función es igual a su promedio.

f ( x )  4  3 x 2 ; x    2,2
f ( x )  ( x 2  1) 2

x    1,3

f ( x)  x 4  x 2

x   0,2

f ( x )  senx; x   0,  



f ( x )  cos x; x  0, 
f ( x)  2 x x

2



x   0,4

7. Hallar la derivada de la función F(x).

x2

senx

dt
a ) F ( x)   1  t dt; b) F ( x)  
a arcsent
x3
4

x

dt

1t 2
0

c) F ( x) 

3

1
cot x

dt
3
;
d
)
(
t
 t ) dt
2


0 1 t
2

8. A partir de las siguiente ecuaciones utilice los teoremas fundamentales para halla
lo que se indica.

a) Sí

Hallar

1
cot x

1
f (t )dt  ln sen( 2 x)  tg (2 x)

2
2

b) Sí

Hallar

x 2 4 x


f( )
2

f (12)

f (t )dt 2 x  3
0

c) Sí

y

tgx

1
f ( x) 
1  x2

f (t )dt...