Guia De Estudio

GUÍA DE ESTUDIOS PARA
PREPARAR EXAMEN
EXTRAORDINARIO DE CÁLCULO
DIFERENCIAL





TEMA I
FUNCIONES
EJERCICIO 1.1. Determine si la relación T : R  R tal que:
  x  1 ,    x  1


t ( x)   1  x 2 ,  1  x  1

 x  1 , 1  x  

es o no función. Por otra parte, determine su dominio y represéntela gráficamente.
SOLUCIÓN.
Para la primera regla decorrespondencia; es decir, para el intervalo  ,  1 , se
observa que cada valor de x en este intervalo tiene una sola imagen. Algo similar
ocurre para el intervalo  1, 1
y otro tanto para la tercera regla de
correspondencia, o sea para la válida en el intervalo 1.   . Esto significa que T es
función.
Ahora bien, analizando los valores de x para los cuales existe imagen, se observa
que el únicovalor que no tiene imagen es x 0  1 , por lo que el dominio de T es:
D  x x  R, x  1

Para la representación gráfica, trabajemos con la primera regla de
correspondencia, elevando al cuadrado ambos miembros:
y 2  x  1
se trata de la mitad de una parábola con vértice en V1 (1, 0) . Es solamente la
mitad de la parábola por el signo negativo que antecede al radical, y abre hacia laparte negativa del eje de las abscisas por el otro signo negativo, el que antecede
al paréntesis.
Por otra parte, la segunda regla de correspondencia es:
y  1 x 2
al elevar al cuadrado ambos lados:
y 2  1 x 2
x2  y2 1
se tiene una semicircunferencia con centro en el origen y radio uno. Nuevamente
es la mitad superior de la circunferencia porque ningún signo antecede al radical,
locual significa que es el valor positivo.
Por último, la tercera regla de correspondencia es:
y  x 1

y 2  x 1

1

se trata de la mitad de una parábola con vértice en V 2 (1, 0) y que abre hacia la
parte positiva del eje de las abscisas.
La representación gráfica es:

CONCEPTO PRINCIPAL: Definición de función real de variable real. Y su
representación gráfica. Definiciones dedominio, de codominio y de recorrido..
CONCEPTOS SECUNDARIOS O ANTECEDENTES: Geometría analítica plana,
la circunferencia y la parábola. Álgebra elemental, operaciones con igualdades.

EJERCICIO 1.2. Sea la función





F   x, y  x, y  R; y  x  2  2

Determine su dominio, recorrido y codominio.
SOLUCIÓN.
La regla de correspondencia de F es:
y  x2 2

De acuerdo con ladefinición de valor absoluto, se tiene que:

 x  2, si x  2  0
x2  
 x  2 si x  2  0
es decir

 x  2, si
x2  
2  x, si

x2
x2

entonces:

2

 x  2  2, si
y
2  x  2, si
que es igual a

x2
x2

 x, si x  2
y
 x  4, si x  2
de aquí se tiene que el dominio de F es:
D  x, tal que

x  R

el recorrido es:
E  y, tal que

y  2y el codominio es:
C  y, tal que

y  R

La representación gráfica de F es:

CONCEPTO PRINCIPAL: Definición de dominio, de recorrido y de codominio de
una función.
CONCEPTOS SECUNDARIOS O ANTECEDENTES: Definición y propiedades del
valor absoluto.

EJERCICIO 1.3.. La relación P : R  R , tal que y  p( x) , donde:

p ( x)  
 x

para 0  x  

3

puede tener comoprimera regla de correspondencia a cualquiera de las siguientes
expresiones:
A) y  x 2  3 para    x  0

B) y  x 2

para    x  0

C) y   x
D) y   1  x

para    x  0
para    x  1

Señale para cada caso de qué tipo de relación se trata, de entre las opciones:

1) No es función
2) Es una función inyectiva y sup rayectiva
3) Es una función inyectiva pero nosup rayectiva
4) Es una función sup rayectiva pero no inyectiva
5) Es una función ni inyectiva ni sup rayectiva
SOLUCIÓN.
Para la expresión A, P es una función suprayectiva pero no inyectiva ya que
cualquier valor real puede ser imagen para al menos un valor del dominio, por lo
que es suprayectiva; sin embargo, hay valores diferentes del dominio que tienen la
misma

imagen,

por...