GUIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA

GU´IA DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULO
´
DE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA.

INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuaci´on se presenta tienen como objetivo proporcionarte orientaci´
on sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos de
´
Algebra”.
Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta gu´ıa noser´an los mismos
que se incluyen en el examen.
´
NUMEROS
COMPLEJOS.

1. Efect´
ue cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular.
(a)
(c)
(e)

5 − 2i 10 − i
+
3 − 4i 4 + 3i

(b)

4 i11 − i2
1 + 2i

(d) 3

i − i2 − i3 + i4
(1 + i)2
3

1+i
1−i

−2

3∠ 15◦ + (3∠ 20◦ )3
√
(1 + 3 i)(2eiπ/2 )

(f )

(g) (4 + 5i) −

1 3
1 2
+ i +
− i
4 3
5 2

1−i
1+i

2

(2 − 2i)(4 − 3i)1−i

2. Simplificar cada una de las siguientes expresiones.
(i).

(ii).

i4 + i7 − i10
4 − i5 + i8

(2 + i)(1 − i)(−1 + i)
(−2 + 2i)2

(iii). (2 − 2i)2 √

2
i
√ −√
√
2 − 2i
2 + 2i

3. Dados los n´
umeros complejos Z1 = 4e2π/3 i , Z2 = 2∠ 60◦ , Z3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones y
exprese los resultados en forma polar.
(a) Z =

i25 (Z3 )8
(Z2 )5

(b) Z =

1

2Z1 + 4Z3
Z1 Z2

4. Dados losn´
umeros complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangular, polar y exponencial.
Z2 = 3 ∠ 15◦

Z1 = 5eiπ/4

(a) Z = Z1 • Z2 • Z3
(c) Z =
5. Para Z1 , Z2 , Z3
exponencial.

∈

Z3 = 2 + 4i

(b) Z = Z1 + Z2 + Z3

Z1 − Z2
Z3

(d) Z =

(Z1 )3
Z2 (Z3 )2

C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar y

Z1 = 2eiπ/6

Z2 =

√

3−√

3i

Z3 = 4(cos π/4 + i sen π/4)
3
(ii). 5z1 + z2 − 2z3
5

(i). (z1 z3 ) + z2 (Resp: 3.8 − 9.5i)

(iii). (

z1 2 z2
)( )
z3
z3

(iv). (z1 + z3 )3

6. Encuentre las ra´ıces indicadas de las n´
umeros complejos dados, exprese los resultados en forma rectangular
y grafique las ra´ıces en el plano complejo
(a) Las ra´ıces c´
ubicas de z = 8 + 8i

√
(b) Las ra´ıces cuadradas de z = 8 + 8 3 i
(c) Lasra´ıces quintas de z = −32i
(d) Las ra´ıces cuadradas de z = −7 + 24i.
√
(e) Las ra´ıces quintas de z = −16 + 16 3 i
7. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´
umero imaginario puro.
8. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´
umero real.
9. Sea z = (5 − 2i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´
umero imaginario puro.
10. Sea z =(3∠30◦ )(3 − ki), determine el valor de k para que z sea un n´
umero imaginario puro.
11. Sea z =

3−ki
1−i ,

calcule el valor de k de tal manera que arg(z) =

π
4

12. Una ra´ız c´
ubica de un n´
umero complejo es 1 + i. Halle dicho n´
umero complejo y sus otras dos ra´ıces c´
ubicas.
√
13. De un pent´
agono regular centrado en el origen conocemos un v´ertice que es el punto (1, − 3). Determinar
losretantes v´ertices.

MATRICES Y DETERMINANTES.

2

(a) Sean
A=

−2
1

4
0

B=

2 −4
−1 k

Calcular el valor de k para que AB = BA.
(b) Obtener el valor de X de la expresi´on

2
A = −2
4

matricial siguiente, dadas las matrices



1 5
2 1 3
1 0
B = 0 −2 7
1 1
0 0 1

i. Ecuaci´
on:
X = A B + 2A
ii. Ecuaci´
on:
X = (BA) − 2B
(c) Obtener la matr´ız X, de las ecuacones siguientes dada lasmatrices A, B.
i. X = A−1 B + B −1 A
ii. X = (A B)−1
Si
A=

0
1

−1
2

B=

2
0

−1
2

(d) Para a ∈ R y
A=

1
0

a
a2

Calcular A2 , A3 .
(e) Dadas las matrices

3
A = 2
4

1
0
1


0
3
2


2
B = 4
2

Calcular: A2 , A ∗ B, −3A + 8C y A + C(C − A)
(f) Mediante operaciones elementales transformar A en
filas no nulas (ese valor es el rango de una matr´ız)



1 4
−1
3
3 
A = 2 5
B = 1
1 10 −115
(g) Calcular la matr´ız inversa de

1 0
A= 0 1
−1 3

cada una de ellas.


4
2
2
B = 0
1
2
3


4
5
7


2
C = 3
1

0
0
0


0
1
2

una matr´ız escalonada, e identificar el n´
umero de

1
4
−2

1
1
1


0
3
1

C=

2
5


1
C = 0
2

4
3

−1
1
0


0
0
1

(h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo calculando ambos productos en las matrices.


1
A = 2
2...