GUIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA
´
DE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA.
INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuaci´on se presenta tienen como objetivo proporcionarte orientaci´
on sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos de
´
Algebra”.
Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta gu´ıa noser´an los mismos
que se incluyen en el examen.
´
NUMEROS
COMPLEJOS.
1. Efect´
ue cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular.
(a)
(c)
(e)
5 − 2i 10 − i
+
3 − 4i 4 + 3i
(b)
4 i11 − i2
1 + 2i
(d) 3
i − i2 − i3 + i4
(1 + i)2
3
1+i
1−i
−2
3∠ 15◦ + (3∠ 20◦ )3
√
(1 + 3 i)(2eiπ/2 )
(f )
(g) (4 + 5i) −
1 3
1 2
+ i +
− i
4 3
5 2
1−i
1+i
2
(2 − 2i)(4 − 3i)1−i
2. Simplificar cada una de las siguientes expresiones.
(i).
(ii).
i4 + i7 − i10
4 − i5 + i8
(2 + i)(1 − i)(−1 + i)
(−2 + 2i)2
(iii). (2 − 2i)2 √
2
i
√ −√
√
2 − 2i
2 + 2i
3. Dados los n´
umeros complejos Z1 = 4e2π/3 i , Z2 = 2∠ 60◦ , Z3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones y
exprese los resultados en forma polar.
(a) Z =
i25 (Z3 )8
(Z2 )5
(b) Z =
1
2Z1 + 4Z3
Z1 Z2
4. Dados losn´
umeros complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangular, polar y exponencial.
Z2 = 3 ∠ 15◦
Z1 = 5eiπ/4
(a) Z = Z1 • Z2 • Z3
(c) Z =
5. Para Z1 , Z2 , Z3
exponencial.
∈
Z3 = 2 + 4i
(b) Z = Z1 + Z2 + Z3
Z1 − Z2
Z3
(d) Z =
(Z1 )3
Z2 (Z3 )2
C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar y
Z1 = 2eiπ/6
Z2 =
√
3−√
3i
Z3 = 4(cos π/4 + i sen π/4)
3
(ii). 5z1 + z2 − 2z3
5
(i). (z1 z3 ) + z2 (Resp: 3.8 − 9.5i)
(iii). (
z1 2 z2
)( )
z3
z3
(iv). (z1 + z3 )3
6. Encuentre las ra´ıces indicadas de las n´
umeros complejos dados, exprese los resultados en forma rectangular
y grafique las ra´ıces en el plano complejo
(a) Las ra´ıces c´
ubicas de z = 8 + 8i
√
(b) Las ra´ıces cuadradas de z = 8 + 8 3 i
(c) Lasra´ıces quintas de z = −32i
(d) Las ra´ıces cuadradas de z = −7 + 24i.
√
(e) Las ra´ıces quintas de z = −16 + 16 3 i
7. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´
umero imaginario puro.
8. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´
umero real.
9. Sea z = (5 − 2i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un n´
umero imaginario puro.
10. Sea z =(3∠30◦ )(3 − ki), determine el valor de k para que z sea un n´
umero imaginario puro.
11. Sea z =
3−ki
1−i ,
calcule el valor de k de tal manera que arg(z) =
π
4
12. Una ra´ız c´
ubica de un n´
umero complejo es 1 + i. Halle dicho n´
umero complejo y sus otras dos ra´ıces c´
ubicas.
√
13. De un pent´
agono regular centrado en el origen conocemos un v´ertice que es el punto (1, − 3). Determinar
losretantes v´ertices.
MATRICES Y DETERMINANTES.
2
(a) Sean
A=
−2
1
4
0
B=
2 −4
−1 k
Calcular el valor de k para que AB = BA.
(b) Obtener el valor de X de la expresi´on
2
A = −2
4
matricial siguiente, dadas las matrices
1 5
2 1 3
1 0
B = 0 −2 7
1 1
0 0 1
i. Ecuaci´
on:
X = A B + 2A
ii. Ecuaci´
on:
X = (BA) − 2B
(c) Obtener la matr´ız X, de las ecuacones siguientes dada lasmatrices A, B.
i. X = A−1 B + B −1 A
ii. X = (A B)−1
Si
A=
0
1
−1
2
B=
2
0
−1
2
(d) Para a ∈ R y
A=
1
0
a
a2
Calcular A2 , A3 .
(e) Dadas las matrices
3
A = 2
4
1
0
1
0
3
2
2
B = 4
2
Calcular: A2 , A ∗ B, −3A + 8C y A + C(C − A)
(f) Mediante operaciones elementales transformar A en
filas no nulas (ese valor es el rango de una matr´ız)
1 4
−1
3
3
A = 2 5
B = 1
1 10 −115
(g) Calcular la matr´ız inversa de
1 0
A= 0 1
−1 3
cada una de ellas.
4
2
2
B = 0
1
2
3
4
5
7
2
C = 3
1
0
0
0
0
1
2
una matr´ız escalonada, e identificar el n´
umero de
1
4
−2
1
1
1
0
3
1
C=
2
5
1
C = 0
2
4
3
−1
1
0
0
0
1
(h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo calculando ambos productos en las matrices.
1
A = 2
2...
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