Guia De Integrales

Guia de Integrales
Profesor: Wilmer Brice˜
no

Integraci´
on por partes
Definici´
on 1 Para los prop´
osito de c´
alculo, una forma m´
as conveniente
de esta f´ormula se obtiene al considerar
u = f (x) y v = g(x)
Entonces
du = f (x) dx y

dv = g (x) dx

de modo que se puede escribir as´ı
u dv = uv −

v du

Resolver las siguientes integrales:
(1)

(3)

xe3x dx

(2)

x sec x tan x dx

(4)

x cos 2xdx
x3x dx

(5)

ln 5x dx

(6)

sen−1 w dw

(7)

(ln t)2
dt
t

(8)

x cos 2x dx

(9)

x tan−1 x dx

(10)

1

ln(x2 + 1) dx

(11)

xex
dx
(x + 1)2

(13)

sen(ln y) dy

(15)

ex cos x dx

(17)

(12)

(14)

(16)

x3 dx
√
1 − x2

(18)

x2 sen 3x dx

sen t ln(cos t) dt
2

x5ex dx
sen 2x
dx
ex

(19)

x2 senh x dx

(20)

e2x
√
dx
1 − ex

(21)

√
cot−1 z
√
dz
z

(22)

cos−1 2x dx

√
cos x dx

(24)

tan−1x23x dx

(26)

ln(x + 2) dx

sen 3w cos w dx

(28)

z 2 cos 2z dz

(23)

(25)

(27)

(29)

(31)

√

x ln x dx

sec−1

(30)

√
t dt

(32)

2

√

x dx

x cot x csc x dx
x sen−1 x dx

3 −x2

(33)

xe

(35)

√

e

x

dx

(34)

dx

(36)

2

(x − 2x + 3) ln x dx

(37)

(39)

(41)

(43)

x ln

(38)

1−x
dx
1+x

ln2 x
dx
x2
ln(ln x)
dx
x2

√
arc sen x
√
dx
1−x
x tan2 2x dx
sen2 x
dx
ex

(40)

cos2 (lnx) dx

(42)

x2
dx
(x2 + 1)2

(44)

dx
(x2 + a2 )2

(45)

x2 arctan 3x dx

(46)

a2 − x2 dx

(47)

x(arctan x)2 dx

(48)

A + x2 dx

(49)

(51)

2

(arc sen x) dx

(50)

arc sen x
dx
x2

3

x2 dx
√
9 − x2

Integrales Trigonom´
etricas
Caso 1:
senn x dx

(i)
(ii)

cosn x dx,

donde n es un n´
umero entero positivo impar
(i) Factor
senn x dx = (senn−1 x)sen x dx
= (sen2 x)(n−1)/2(sen x dx)
= (1 −cos2 x)(n−1)/2(sen x dx)
(ii) Factor
cosn x dx = (cosn−1 x)cos x dx
= (cos2 x)(n−1)/2(cos x dx)
= (1 − sen2 x)(n−1)/2(cos x dx)
Caso 2:

senn x cosm x dx, de donde al menos uno de los exponentes es

un n´
umero entero positivo impar. En la soluci´on de este caso se utiliza un
m´etodo semejante en el caso 1.
4

(i) Si n es impar, entonces
senn x cosm dx = senn−1 x cosm x(sen x dx)
= (sen2 x)(n−1)/2cosm x(sen x dx)
= (1 − cos2 x)(n−1)/2 cosm x(sen x dx)
(ii) Si m es impar, entonces
senn x cosm x dx = senn x cosm−1 x(cos x dx)
= senn x(cos2 x)(m−1)/2(cos x dx)
= sen x(1 − sen2 x)(m−1)/2(cos x dx)
Caso 3: (i)

senn x dx, (ii)

cosm x dx, o (iii)

senn cosm x dx, donde

m y n son n´
umeros enteros positivos pares.
(i) Factor
senn x dx = (sen2 x)n/2 dx
1 − cos 2x
2

=
(ii) Factor
5

n/2

dxcosn x dx = (cos2 x)n/2 dx
1 + cos 2x
2

=

n/2

dx

(iii) Factor
senn x cosm x dx = (sen2 x)n/2(cos2 x)m/2 dx

=

Caso 4: (i)

tann x dx, o (ii)

1 − cos 2x
2

n/2

1 + cos 2x
2

m/2

dx

cotn x dx, donde n es un n´
umero entero

positivos.
(i) Factor
tann x dx = tann−2 x tan2 x dx
= tann−2 x(sec2 x − 1) dx
(ii) Factor
cotn x dx = cotn−2 x cot2 x dx
= cotn−2 x(csc2 x − 1) dx
6

secn x dx, o (ii)Caso 5: (i)

cscn x dx, donde n es un n´
umero entero

positivos.
(i) Factor
secn x dx = secn−2 x(sec2 x dx)
= (sec2 x)(n−2)/2(sec2 x dx)
= (tan2 x + 1)(n−2)/2(sec2 x dx)
(ii) Factor
cscn x dx = cscn−2 x(csc2 x dx)
= (csc2 x)(n−2)/2(csc2 x dx)
= (cot2 x + 1)(n−2)/2(csc2 x dx)
Caso 6: (i)

tann x secm x dx, o (ii)

cotn x cscm x dx, donde m es un

n´
umero entero positivo par.
(i) Factor
tann xsecm x dx = tann x secm−2 x(sec2 x) dx
= tann x(sec2 x)(m−2)/2(sec2 x dx)
= tann x(tan2 x + 1)(m−2)/2(sec2 x dx)
7

(ii) Factor
cotn x cscm x dx = cotn x cscm−2 x(csc2 x) dx
= cotn x(csc2 x)(m−2)/2(csc2 x dx)
= cotn x(cot2 x + 1)(m−2)/2(csc2 x dx)
Caso 7: (i)

tann x secm x dx, o (ii)

cotn x cscm x dx, donde m es un

n´
umero entero positivo impar.
(i) Factor
tann x secm x dx = tann−1 x secm−1x(sec x tan x dx)
= (tan2 x)(n−1)/2 secm−1 x(sec x tan x dx)
= (sec2 x − 1)(n−1)/2 secm−1 x(sec x tan x dx)
(ii) Factor
cotn x cscm x dx = cotn−1 x cscm−1 x(csc x cot x dx)
= (cot2 x)(n−1)/2 cscm−1 x(csc x cot x dx)
= (csc2 x − 1)(n−1)/2 cscm−1 x(csc x cot x dx)
8

Caso 8: (i)

secn x dx, o (ii)

cscn x dx, donde n es un n´
umero entero

positivo par.
Aplique integraci´on por parte.
(i) Considere u...