Guia de limites

1. Demuestre que lim

2. Demuestre por definici´n que: o a) c)
x→−2

lim (3x + 5) = −1

b) d)

x→ 3 2

lim [x] = 1

lim cos x = cos a

1

3. Demuestre que los siguientes l´ ımites no existen: a) c)
x→1

lim

x(x − 1) x x−2 4x2 − 9 =6 2x − 3

b) d)

x→0

lim sen2 lim tg 1 x

1 x

x→2

lim

x→0

4. Aplicando la definici´n de l´ o ımite demuestre que: (a) lim 3x→ 2 x→2

(b) lim (x2 − 1) = 3 (c) lim f (x) = 6
x→3

siendo

 si x < 3  2x 8 si x = 3 f (x) =  3x − 3 si x > 3

Dibuje un gr´fico en cada caso. a

2

5. Calcular los siguientes l´ ımites y justificar su respuesta: 2 x +5 x2 − 2x + 1 lim 2 lim x→2 x − 3 x→1 x3 − x √ (x − 1) 2 − x 1 3 lim lim ( − ) 2−1 x→1 x→1 1 − x x 1 − x3 √ 1+x−1 xm − 1 (m, n ∈ N) lim lim n x→0 x→1 x − 1 x √ √ sen5x x−b− a−b lim lim (a > b) x→0 x→a x x2 − a 2 6. Calcular los siguientes l´ ımites: 1 − cos x lim x→0 x2
x→0

x→0

lim

tg 2x sen 3x

lim (

1 1 − ) sen x tg x cos x − sen x cos 2x

x→ 4

lim π

sen 3x x→π sen 2x √ √ 2 − 1 + cos x lim x→0 sen2 x lim (3 + x)3 − 27 x→0 x √ √ 1 + 2x − 1 − 3x lim x→0 x lim lim x2 + p2 − p x2 + q 2 − q

1 1 1 lim ( − ) x→0 x 3 + x 3 √ √ 1 3+x− 3lim ( ) x→0 x x √ x2 + 1 lim x→0 x + 1 7. Si lim f (x) = 2 calcular:
x→3 x→3

x→0

lim f 2 (x) ;

x→2

lim f (x2 − 1) ;

x→4

lim f (2x − 5)

  x−4 8. Si f (x) = 
2

−1 < x < 2 Calcular
x→2

lim f (x)

x −6 2 0 de manera que |f (x) − 1| < ε cuando 0 < |x − 2| < δ. 11. Calcule: a)
x→ 2

lim 3

4x3 + 8x2 − 3x − 9 10x3 + 9x2 − 5x + 6 2 3 − ] 2 1−x 1 − x3

b)

xm − am, m, p ∈ Z + x→a xp − ap lim

c)

x→1

lim [

12. Calcule: x3 − a 3 √ , a ∈ R+ a) lim √ x→a x− a c) 13. a) √ 3x − 2 − 4x2 − x − 2 lim x→1 x2 − 3x + 2
x→a

√ √ n x− na √ , n, m ∈ Z + b) lim √ x→a m x − m a

lim

2a −
3

3

4(a3 + x3 )

4(a3 + x3 ) − 2x

√ √ x− 4x √ b) lim √ x→1 3 x − 5 x a, b ∈

ıces de la ecuaci´n x2 − 2ax + b2 = 0, o 14. Sean x1 < x2 las ra´ + R , a > b.Encuentre los siguientes l´ ımites: x2 − x1 ax2 − b2 a) lim √ b) lim b→a b→a ax1 − b2 a−b c) ax2 − bx1 b→a ax1 − bx2 lim

4

15. Calcule: a) c) sen 4x x→0 sen 3x lim Arc sen x x→0 x lim sen x − sen a x→a sen x − sen a 2 2 lim lim π cos(x + π ) 4 tg x − 1 b) b) x lim tg x(1 − tg ) π x→ 2 2 4x − 2x x→0 5x − 3x lim √ c) lim x( x a − 1)
x→∞

b)

7x − sen 3x x→0 2x + 3 sen 4x lim

16.Calcule: a) b) sen x + cos x 2 x→π 1 + sen2 x + cos x lim

c) 17. a) 18. a)

x→ 4

tg(x − π ) − 1 4 x→0 sen x lim lim 2x − 3x x→0 x
1

19. Calcule los siguientes l´ ımites: a) lim (1 + x) 2x
x→0

b) lim x 1−x
x→1

1

20. Dadas las funciones: f (x) = x2 − x − 6 x−3

  x2 − x − 6   x=3 x−3 h(x) =    5 x=3

  x2 − x − 6   si x = 3 x−3 g(x) =    3 si x = 3

(a) Dibujeel gr´fico de cada funci´n a o (b) Analice su continuidad en x = 3 (c) Redefina aquellas funciones en x = 3 cuando la discontinuidad sea evitable. 5

21. Localice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones. Clasifique la discontinuidad en evitable o esencial: x 1 a) f (x) = 3 b) g(x) = c) h(x) = [x] x − 4x sen 2x ınuas las siguientes funciones: 22. Determine los intervalos donde soncont´ a) f (x) = 1 x2 − 9 b) g(x) = 4 x2 + x c) h(x) = x−5 x+6

23. Encuentre los valores de p y q de manera que la funci´n: o  si x ≤ − π  −2sen x 2     p sen x + q si − π < x < f (x) = 2      cos x si π ≤ x 2 sea cont´ ınua en todo R. Haga el gr´fico de f . a 24. Demuestre que si f es una funci´n cont´ o ınua en [a, b] tal que f (a) < a y f (b) > b, entonces existe un punto c en [a,b] donde f (c) = c. (Propiedad del punto fijo). Ilustre esta propiedad gr´ficamente con a una funci´n adecuada. o 25. Bosqueje los gr´ficos de las siguientes funciones se˜alando sus puntos a n de discontinuidad y el caracter de ´stos e √ 3 3 1+x−1 x −1 a) b) x2 − 1 x c) e) g) cos x |cos x| sen 1 x d) Arc tg f) h) x sen 1 x−4

π 2

1 x

sen x x

sen 2x x − x2

6

i)

1 x[ ] x

j)...