Guia De Logica Y Conjuntos

UNIVERSIDAD DE LA SERENA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
I SEMESTRE 2011
GUÍA DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA (INGENIERÍAS)

LÓGICA
1.- Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∼ ( p ⇒ ∼ q) b) p ⇒ (∼ p ⇒ q)
c) [ ( p ⇒ q) ⇒ ( q ⇒ p)] ⇔ ( p v ∼q)
2.- a)Si la proposición ∼(p v q) ⇒ p es falsa , ¿cuál es el valor de verdad de la
proposición ( p ⇒ (p v q) ) ⇔q ?
b) Si (p v q) ∧ r es una proposición verdadera, ¿bajo que condiciones para q, la
proposición (p ⇒ q) v ( q ⇔ r) es falsa?
c) Si p ⇒ ( q v r) es falsa, ¿Cuál es el valor de verdad de ∼ p ⇒ ( q ∧ ∼ r)
3.- Simplifique al máximo la expresión
a) p ⇒ ( p v q )
b) ( p v q ) ⇒ p
c) {[∼ ( p ⇒ q ) v (∼p ∧ q ) ] ∧ p }⇒ q
d) {[ (∼p ∧q) v ∼( p ⇒ q)] ⇒ q}v p
e) [(∼p ⇔ ∼q) ∧ ∼ (∼ p ∧∼ q) ] ⇒ p
4.-a)Demuestre que: {(p ⇔ ∼q ) ∧ ∼( p ∧ ∼q)} ⇔ ( ∼p ∧ q)
b)Demuestre que: [ p ⇒ ( p v q) ] ⇔ [ ( p ∧ q) ⇒ p]
5.- Sean p y q proposiciones. Demuestre que la siguientes proposiciones son tautologías
i)usando tablas ii)usando propiedades
a) [( p v q) ∧ p] ⇔ p
b) ∼ ( p ⇒ q ) ⇒[ ( p ∧ ∼ q ) v (∼ p ∧ q)]
c) [ p v q ) ∧ p ] ⇔ p
d) ( p ⇔ ∼ q ) ⇔ (∼ p ⇔ q )
e) { ( p ⇒ q ) ∧ [ ∼ ( p ∧ q ) ⇒ p ] } ⇔ p∧ q
6.- Se define el conectivo * por ( p * q) ⇔ [ ( p ⇔ q ) ∧ ∼ ( p∧ q ) ]
i) Simplificar al máximo la expresión ( p * q) * r
ii) Probar que: i) p * q ⇔ ∼ ( p v q)
7.- Si se tienen los siguientes antecedentes como verdaderos:
• Si Jorge no está bien con su polola no va al fútbol
• Es suficiente que Jorge hable por teléfono con su polola para que esté bien con ella
• Jorge habló por teléfonocon su polola
¿ Es correcto concluir "Jorge va a ir al fútbol"?. Fundamente su respuesta .
8.- Determine el más grande de los subconjuntos de IR, de modo que:
a) (x > 0 ) ⇒ ( x2 > 0 ) sea verdadera.
b) [ ( x + 2 ) > 0 ] ⇒ [ ( x – 3 ) < 0 ] sea verdadera
c) ( x2 > 0 ∧ x < 0 ) ⇒ x3 > 0 sea verdadera
9.- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones,
para A = IN, y para A = Q.a) ∀ n ∈ A : [ ( n + 1 ) / n ] > 1
b) ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A :
c) ∀ z ∈ A,

=z+2

10.- Determine el valor de verdad de cada proposición:
a) ∃ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR
2x + y = 5 ∧ x – 3y = 18
b) ∃ x∈ IR, ∀ y ∈ IR
2x + y = 5
c) ∀ x∈ IR, ∃ y ∈ IR
2x + y = 5

d) ∀ x∈ IR, ∀ y ∈ IR
e) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR
f) ∀ x ∈ IR, ∀ y ∈ IR
g) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR

x + 2 > y +1
x ·y=0
x = 2y
x·y=1

11 .-Determine el valor de verdad; fundamente
a) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR: ( x + y = 3) ⇒ ( x = 2y )
b) ∃ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR: ( x + y = 5 )∧ ( x – y = 8 )
c) ∀ x ∈ IR, ∃ y ∈ IR: y
=1
2
d) ∀ x∈ IR, ∃ y ∈IR: y = x
12.- Negar la siguiente proposición:
∀ ε ∈ IR+ , ∃ δ ∈ IR+ : |5 - x | > δ ⇒

|25 - x2 | < ε

13.- Considerando N como universo escriba en símbolo cada una de las siguientes
expresiones.
a)Todo número multiplicado por cero es cero.
b) Todo número es menor o igual que si mismo.
c) Hay un número tal que su cuadrado es igual al número.
14.- Escriba usando símbolos matemáticos: "Para cada uno de los elementos de un conjunto
A, existe un elemento en el conjunto B, de modo que el primer elemento excede en 6 al
triple del otro elemento".
15.- Considere p(x) : x es un número mayor oigual que -4 y menor que 1
q(x) : x es un número que al cuadrado es menor que 15
Determine el valor de verdad en cada una de las siguientes proposiciones
a) ∀ x ∈ A : p(x) v q(x) donde A= { -2, -1, 0 }
b) ∃ x ∈ B : p(x) ∧ q(x) donde B= { -5, -1, 2 }
CONJUNTOS
1.- Describa cada conjunto en palabras y luego usando símbolos matemáticos:
a) {5, 10, 15, 20, 25, ... }
b) { 1, 4, 9, 16, 25, ... }
c){ 7, 10, 13, 16, 19, ... }
2.- Sea A = {{ a }, ∅ }. Determine qué proposiciones son verdaderas:
a) {a }∈ A
b) { a }⊂ A
c) {∅ }∈ A
d) ∅∈ A
e) ∅⊂ A
f) { ∅ }⊂ A
3.- Construya un diagrama de Venn, de modo que:
A ∩ B = { 3, 4 }
A={ 1, 2, 3, 4, 8 }
B ∩ C= { 3, 5, 6 }
A U B= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A ∩ C= { 3, 8 }
¿Es posible encontrar más de una solución? Justifique.
4.- El...