Guia De Matematicas

1.- Resuelva los siguientes problemas de optimización
a) ¿Cuál es el área máxima de un rectángulo que se puede formar con una cuerda de 1.5 m de longitud?
b) Se quiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 pie3 (pies cúbicos). Encuentre las dimensiones que minimicen la cantidad de material necesario (desprecie el espesor del material y lo que se desperdicia enla construcción).
c) Se tiene un material de 50 cm de largo y 40 cm de ancho con el que se quiere construir una caja sin tapa, cortando cuadrados en las esquinas del material y realizando dobleces hacia arriba. Determine las dimensiones de la caja de máximo volumen que se puede construir.
d) Se va a construir un recipiente cilíndrico (con base y tapa) de 1 litro de capacidad empleando la menorcantidad de material posible. Determine las dimensiones del cilindro.
e) Se va a construir un recipiente cilíndrico (con base y tapa) de volumen máximo empleando un rectángulo de material de 30 cm x 50 cm. Determine las dimensiones del cilindro.
f) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de 1m3 (metro cúbico). Encuentre las dimensiones que debetener para que la cantidad de material sea mínima, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción.
g) Se va a construir una autopista para unir un pueblo con un puente, situado a 9 km al Este y 8 km al Sur del pueblo. Hay que cruzar un terreno pantanoso de 5 km de anchura. La construcción de 1 km de autopista cuesta 10 millones de euros sobre terreno pantanoso y 7 millones sobre terrenoseco. El objetivo es analizar a cuantos kilómetros al Este del pueblo debe salir la autopista del terreno pantanoso para minimizar el costo.
Salida del pueblo




3 km
9 kmPuente
h) Un veterinario cuenta con 30 m de tela de alambre y quiere construir 6 jaulas para perros levantando primero una cerca alrededor de una región rectangular, y dividiendo luego la región en seis rectángulos iguales mediante cinco rejas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la zona rectangular para las que el área total es máxima?
i) Se desea construir un almacéncon un volumen de 100 m3 que tenga techo plano y base rectangular cuya anchura sea tres cuartas partes de su longitud. El costo por metro cuadrado de los materiales es de $36 (dólares) para el piso, $54 para los lados y $27 para el techo. ¿Qué dimensiones minimizan el costo?
k) Disponemos de 40 metros de cerca para cerrar un espacio rectangular destinado a jardín. Hallar el área máxima que puedecercarse y las dimensiones del jardín óptimo
l) Con una cartulina cuadrada de 18 cm de lado se desea construir una caja abierta (sin tapa) cortando en ella cuatro pequeños cuadrados en las esquinas y luego doblando hacia arriba. Hallar las dimensiones de la caja de volumen máximo.
m) Una lata de refresco debe contener 12 onzas de líquido. Hallar las dimensiones que minimizan la cantidad dealuminio empleada en su construcción, suponiendo que es de grosor uniforme. (1 onza= 1.80469 〖pulg〗^3)
n) Se desea cercar un terreno rectangular de 1800 〖pie〗^2 limitando con un río (recto). Si los otros tres lados se cercan ¿Cuál es el mínimo perímetro de cerca y cuáles son las dimensiones óptimas de este terreno?
o) Se va a construir un corral doble en forma de dos rectángulos idénticos con unlado en común. Si se dispone de 120 pies de cerca ¿qué dimensiones del corral hacen máxima su área?
p) Con una cartulina de 6 cm x 10 cm se desea construir una caja abierta (sin tapa) cortando en ella cuatro pequeños cuadrados en las esquinas y luego doblando hacia arriba. Hallar las dimensiones de los cuadrados que se deben cortar para hacer máximo el volumen de la caja.
q) Nos dicen que...