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UNIVERSIDAD NACIONAL
DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
Área Académica de Ciencias Básicas Humanidades y Cursos
Complementarios

METODOS NUMERICOS (MB –536)
CALCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS




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Métodos Numéricos-MB536

VALORES Y VECTORES PROPIOS
El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz tiene gran
importancia enlas matemáticas y en la ingeniería, algunos de estos campos de
aplicación son:
- Sistemas Mecánicos vibratorios y resonancias- Valores propios ω2(frecuencia de
resonancia) y los vectores propios dados por los modos naturales de vibración.
- Circuitos eléctricos-circuitos resonantes
- Cálculos de Esfuerzos y Deformaciones.
- Transformaciones Geométricas usando Matrices.( Ejes de Rotación)
-Estabilidad de los sistemas lineales.(p.e. Ingeniería de Control)
Definición 1
Sea A una matriz cuadrada de orden n con componentes en K (R ó C). Un escalar λ se
dice que es un valor propio de A si existe un vector u ∈ K n , u ≠ 0 tal que
Au = λ u .
(1)
En estas condiciones decimos que u es vector propio de A asociado al valor propioλ.
El problema de los valores propios de una matrizcuadrada A, consiste en
determinar los escalares λ que proporcionan soluciones diferentes de la trivial al
sistema lineal (1). Es decir, soluciones tales que u ≠ 0 .

Nótese que si u satisface la ecuación (1), también un múltiplo arbitrario de u (cualquier
vector paralelo u) es una solución.

1 2 
Ejemplo 1. Sea A = 

2 1
1 2 1
1
Dado que: 
 1 = 3 1
2 1   
tenemos que:
λ1 =3 es el valor propio de A, y

u1 = [1 1]t es vector propio de A asociado al valor propio λ1 =3
1 2   1 
1
Además, puesto que 
 − 1 = − − 1
2 1   
 
tenemos que:
λ2 =-1 es el valor propio de A, y

u 2 = [1 − 1]t es vector propio de A asociado al valor propio λ2 =-1

1

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Teorema 1
Sea A una matrizcuadrada. Entonces λ es valor propio de A si y solo si det(A-λI) = 0
Demostración:

λ valor propio de A ⇔ u ≠ 0, Au = λu
⇔ u ≠ 0 y (A -λI)u = 0
⇔ (A - λI)u = 0 es un sistema compatible indeterminado
⇔ det(A - λI) = 0
Definición 2
Sea A una matriz cuadrada.
i)
p (λ ) = det( A − λI ) se llama polinomio característico de A
ii)
p (λ ) = 0 se llama ecuación característica de A
Llamaremosmultiplicidad algebraica de un valor propio λ , representada por
iii)
m a (λ ) , a la multiplicidad de λ como raíz de p (λ ) = 0 .
Teorema 2
Sea A una matriz cuadrada de orden n con componentes en K y λ un valor propio de A.
El conjunto
E ( λ ) = u ∈ R n : ( A − λI ) u = 0
es un subespacio vectorial de Rn

{

}

Demostración. Ejercicio

Definición 3
Sea A ∈ M n×n (K ) y λ un valor propiode A. El subespacio vectorial E( λ ) es llamado
espacio propio de A asociado al valor propio λ .

Nota
El conjunto de todos los vectores propios de una matriz A asociados al valor propio λ
es dado por E( λ ) – {0}
Calculo de los Valores y Vectores Propios
Vamos a sistematizar el procedimiento a seguir en el cálculo de los valores y vectores
propios de una matriz A cuadrada
1. Calcular elpolinomio característico de A . i.e p (λ ) = det( A − λI )
2. Resolver la ecuación p (λ ) = 0 para obtener las raíces de la ecuación
característica (estas raíces son los valores propios de A)
3. Cuando calculamos los vectores propios de una matriz dada, asociados a cierto
valor propio λ , tenemos que resolver el sistema homogéneo (A- λ I)u = 0 que
tiene que ser indeterminado. Como tal debe deexistir una fila nula en la matriz
A- λ I., si tal no ocurriera algún error fue cometido.
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Definición 4
La dimensión del subespacio propio es llamada la multiplicidad geométrica (m.g.) del
valor propio y algunas veces Nulidad de (A-λI).
Teorema 3
Sea A una matriz cuadrada de orden n y λ un valor propio de A. Entonces, la
multiplicidad...