Guia de probabilidades resuelta

Matemáticas aplicas a las Ciencias Sociales II Ejercicios de probabilidad

Pedro Castro Ortega Profesor del IES “Fernando de Mena”

Ejercicios resueltos de probabilidad
1. El 70% de empresas tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en sus pasivos financieros y el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos financieros. Obtén razonadamente el porcentaje de empresassin errores en sus activos, en sus pasivos o en ambos. De una muestra de 500 empresas, ¿cuántas se espera que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros? Solución: Llamemos A = {tener errores en los activos financieros} y B = {tener errores en los pasivos financieros}. Entonces P(A) = 0’7, P(B) = 0’6 y P(A ∩ B) = 0’4. El suceso “no tener errores en los activos financieros”es A y por tanto P( A ) = = 1 − P(A) = 1 − 0’7 = 0’3 lo que significa el 30%. El suceso “no tener errores en los pasivos financieros” es B y por tanto P( B ) = = 1 − P(B) = 1 − 0’6 = 0’4 lo que significa el 40%. El suceso “no tener errores en ambos” equivale a “no tener errores en los activos financieros y no tener errores en los pasivos financieros”, es decir, A ∩ B . Pero, por las leyes deMorgan, A ∩ B = A ∪ B . Entonces P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = = 1 − P(A ∪ B) = 1 − [P(A) + P(B) − P(A ∩ B)] = 1 − (0’7 + 0’6 − 0’4) = 1 − 0’9 = = 0’1 lo que significa un 10%. Según lo anterior se espera que un 10% de las empresas no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros. Si tenemos una muestra de 500 empresas 10 podemos esperar que 500 = 50 empresas no tengan errores ni en susactivos ni 100 en sus pasivos financieros. 2. Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para los próximos tres penaltis se consideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos A ∪ B, A ∩ C y B ∩ C. Solución: Llamemos M al suceso “meter penalti”. Entonces P(M) =4 1 y por tanto P( M ) = . 5 5

Observemos que el suceso A es equivalente a “meter el primero y no meter el segundo y no meter el tercero, o bien no meter el primero y meter el segundo y no meter el tercero, o bien no meter el primero y no meter el segundo y meter el tercero”, que simbólicamente podemos escribir así: A = (M1 ∩ M 2 ∩ M 3) ∪ ( M 1 ∩ M2 ∩ M 3) ∪ ( M 1 ∩ M 2 ∩ M3) Los subíndicesindican el número del penalti lanzado. Observemos también que cada uno de los sucesos encerrados entre paréntesis son incompatibles dos a dos, es decir, no es posible que ocurra simultáneamente “meter el primer penalti y no los dos siguientes” y “no meter los dos primeros y meter el tercero”, por ejemplo. Esta última observación nos lleva necesariamente a:

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Pedro Castro Ortega Profesor del IES “Fernando de Mena”

P(A) = P[(M1 ∩ M 2 ∩ M 3) ∪ ( M 1 ∩ M2 ∩ M 3) ∪ ( M 1 ∩ M 2 ∩ M3)] = P(M1 ∩ M 2 ∩ M 3) + P( M 1 ∩ M2 ∩ M 3) + P( M 1 ∩ M 2 ∩ M3) (1), pues sabemos que si A, B y C son dos sucesos cualesquiera incompatibles dos a dos (A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ y B ∩ C = ∅) entonces P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C).Hagamos notar, para terminar esta parte, que el hecho de meter o no un penalti no influye para nada en lo que ocurra en el lanzamiento del siguiente, es decir, meter o no meter el primer penalti es independiente de meter o no meter el segundo y de meter o no meter el tercero. Teniendo en cuenta esto podemos escribir (1) así: (1) = P(M1) · P( M 2) · P( M 3) + P( M 1) · P(M2) · P( M 3) + P( M 1) · P( M2) · P(M3) = 4 1 1 1 4 1 1 1 4 4 4 4 12 + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = , pues también hemos de 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 125 125 125 saber que si A, B y C son sucesos independientes dos a dos, entonces P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C). Con todo lo anterior hemos demostrado que P(A) =

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Calculemos ahora P(B). Por un razonamiento semejante al anterior podemos escribir ahora B = (M1 ∩ M2 ∩ M 3)...