GUIA DE RESUELTOS VARIABLE ALEAT Y MOD

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
GUÍA PROBLEMAS RESUELTOS: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELOS
PROF: PAOLA BARILE M.

1.

Los datos del censo a menudo se usan para obtener distribuciones de probabilidad de algunas
variables aleatorias. Los datos del censo, de familias con un ingreso combinado de $500.000 o
más, en una ciudad en particular, muestran que de 1000 familias encuestadas,200 no tienen
hijos, 300 tienen un hijo, 400 tienen dos hijos y 100 tienen 3 hijos. Con base a esta información:
1.1
Elabore la distribución de probabilidad para X, que representa el número de hijos por
familia en este grupo de ingreso.
Estime el número esperado de hijos por familia
1.2
SOLUCIÓN:
Sea X: Número de hijos por familia
P(X = 0) = 200 / 1000 = 0,2
P(X = 1) = 300 / 1000 = 0,3
P(X = 2) =400 / 1000 = 0,4
P(X = 3) = 100 / 1000 = 0,1
1.1.

x
P(x)

0
0.2
1.2

2.

E(X) =

1
0.3

2
0.4

3
0.1

∑ x ⋅ p( x ) = 0⋅ 0,2 + 1 ⋅ 0,3 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,1 = 1,4 hijos

El tiempo requerido por los estudiantes para terminar un examen de una hora es una v. a. con f. d. p.
dada por:

cy 2 + y
f( y)= 
0

si 0 < y < 1
t .o .c .

Determine el valor de c.
Dado que un estudiante necesita al menos 15minutos para presentar el examen, encuentre
la probabilidad de que necesite al menos 30 minutos para terminarlo.
Calcule el tiempo esperado y la desviación estándar del tiempo que demora un estudiante
en terminar el examen.

2.1
2.2
2.3

SOLUCIÓN:
2.1

∫ (cy

2.2

2

)

+ y dy = 1 ⇒

cy 3
y
+
3
22

1
0

P(X > 0,5 / X ≥ 0 ,25 ) =

= 1⇒

 3 y 2
c 1
3
+ = 1⇒ c = ⇒ f(x)= 
+y
3 2
2
 2

P ( X > 0,5 )
0 ,8125
=
= 0 ,8455
P ( X ≥ 0 ,25 ) 0 ,9609

si 0 < y < 1

2.3

E(Y) =

∫

1

0

3

y ⋅  y 2 + y  dy = 0,70833 [horas] = 42,5’
2


1
3

E ( Y 2 ) = ∫ y 2 ⋅  y 2 + y  dy
0
2


V(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2 = 0,55 – 0,708332 = 0,04826 [horas]2
σ (x) = 0,2197 [horas] = 13,18’.
3.

El número de meses requeridos para construir un edificio, es una variable aleatoria con función de
cuantía:

XP(x)

10
0.2
3.1
3.2

11
0.3

12
0.3

13
0.1

14
0.1

Determine el número esperado de meses, para construir el edificio.
Calcule el % de variabilidad del número de meses requeridos para construir el edificio.

SOLUCIÓN:
3.1
E(X) = x⋅p(x) = 10 ⋅ 0,2 + 11⋅ 0,3 + 12 ⋅ 0,3 + 13 ⋅ 0,1 + 14 ⋅ 0,1 = 11,60
3.2

% de variabilidad ⇒ C.V.(X)
C .V .( X )=

σ

x

=

E(X2) =

σ

2
x

σ x
E ( X )

= E( X

∑x

22

) − [E ( X ) ]

2

⋅ p( x ) = 136,0

σ = 136 – (11,6)2 = 1,44
σ = 1,2
C.V.(X) = 1,2 / 11,6 = 0,103
Por lo tanto el porcentaje de variabilidad es 10,3%.
2

4.

Una estación de servicio recibe bencina semanalmente. Las estadísticas anteriores sugieren que
la distribución de probabilidad de las ventas semanales X (en miles de litros) se aproxima mucho
a un triángulo isósceles cuya base seextiende de 1000 a 3000 litros como lo indica la figura.

1
4.1
4.2
4.3

2

3

Definir la función de probabilidad de las ventas semanales.
Calcular la probabilidad que el consumo de combustibles esté entre 1700 y 2800 litros.
¿Cuál debe ser la capacidad mínima de almacenamiento de bencina que debe tener la
estación a fin de que la probabilidad de que se agote el combustible sea de 0,08?

SOLUCIÓN:
4.1P(1 , 0 )

m=

P(2,1)

1−0 1
= =1
2−1 1

y–0=m(x–1)
y =x–1

P(2 , 1 )

m=

P(3,0)

1−0
1
=1
=
2−3 −1

y–1=m(x–2)
y – 1 = - 1 (x – 2 )

y=-x+2+1
y=-x+3

x − 1 1 ≤ x ≤ 2

f ( x ) = 3 − x 2 ≤ x ≤ 3
0
o .c .

4.2

P ( 1,700 < X < 2,800) =

4.3

P( X ≥ k ) = 0,08 ⇒

∫

2

∫

k

1

2

2 ,0

2 ,8

1 ,7

2 ,0

∫

( x − 1 )dx + ∫ ( 3 − x )dx = 0 ,255 + 0 ,48 = 0 ,735

P ( X < k ) = 0,92

( x − 1 )dx =0 ,5
( 3 − x )dx = 0 ,42 ⇒

k2
 k = 3 ,4 ∨
+ 3 k − 4 = 0 ,42 ⇒ 
2
 k = 2 ,6

Como el recorrido de X está entre 1 y 3 la solución es k = 2,6.

5.

Un exportador de fruta tiene que pasar una cláusula de control de calidad internacional que es: el
peso de las cajas tienen que encontrarse entre 8,5 y 9,7 Kgs. A través de la experiencia se encontró
que el peso tiene una distribución dada por:...