GUIA DE SERIES 2012 I

.SERIES
Hebeth Cueva Valladolid
Mayo del 2012

Docente : Hebeth Cueva Valladolid

1

.
CICLO 2012 - I
Series

Taller de C´
alculo 2
Series
Geom´etricas ,Arm´onicas,Alternantes
Criterios de convergencia
Series de Potencia ,de Taylor
Profesor : Hebeth Cueva Valladolid

´
Este
es un Taller cuyo objetivo es que al t´ermino del mismo usted maneje
´e interprete las definiciones y teoremas de lasseries y de los criterios de convergencia de Series Geom´etricas,Series de Potencia ,Series de Taylor y Series
de Fourier,para as´ı poder aplicarlos en la resoluci´on de ejercicios propuestos.
DEFINICION 0.1 (Serie). Dada una sucesi´
on de n´
umeros {an }n≥1 ,una
expresi´
on de la forma
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
es una serie infinita.El n´
umero an es el n-´esimo t´ermino de la serie . La
sucesi´on{sn },definida como
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
.
.
sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

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es la sucesi´
on de sumas parciales de la serie,donde el n´
umero sn es la
n-´esima suma parcial.Si la sucesi´
on de sumas parciales converge a un
limite L,dec´ımos que la serie converge y que su suma es L.En este caso,escribimos
∞

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... =an = L
n=1

Si la sucesi´
on de sumas parciales de la serie no converge,dec´ımos que la serie
diverge

TEOREMA 0.1. Si la serie

+∞

an
n=1

es convergente ,entonces
l´ım an = 0

n−→+∞

Ejercicios
1. Determinar si la Serie dada es divergente
+∞

n=1

n2 + 3
4n − 5n2

2. Analizar la convergencia de la siguiente serie usando el Teorema anterior
+∞
n!
2n! + 1
n=1
3. Analizar la convergencia de laserie
∞

n2 + 3
4n − 5n2
n=27
4. Analizar la convergencia de la serie
∞

ln(2 +
n=1

1
)
n

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DEFINICION 0.2 (Serie Geom´
etrica). Las Series Geom´etricas son de
la forma
∞

2

a + ar + ar + ... + ar

n−1

arn−1

+ ... =
n=1

donde a, r son n´
umeros reales fijos y a = 0.Tambi´en se puede escribir la serie
como :
∞
arn
n=0

La raz´
on r puede ser positiva,como en1+

1 1
1
+ + ... + ( )n−1 + ...
2 4
2

o negativa como en :
´
1−

1 1
−1
+ − ... + ( )n−1 + ...
3 9
3

Si r = 1,la n-´esima suma parcial de la serie geom´etrica es :
sn = a + a(1) + a(1)2 + ... + a(1)n−1 = na.
y la serie diverge porque l´ım sn = ±∞,
n−→∞

TEOREMA 0.2 (Convergencia de Series Geom´
etricas). Una serie
geom´etrica
∞

arn
n=0

converge si | r |< 1 y diverge en caso contrario.
Cuandoconverge su suma es:
∞

arn =
n=0

a
1−r

Observaci´
on
En el caso de tener una serie geom´etrica que no comienze en cero pero que
es convergente se tendr´a
∞

arn =
n=k

Ejercicios

a · rk
1−r

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1. Analizar el caracter de las siguientes series y hallar su suma en el caso
que convergan
a)
1+

8 64 512
+
+
+ ...
7 49 343

b)
+∞

n=2

c)

(−1)n
4n

∞

(
n=0

−2n
)
3

2. Hallar la suma de la siguiente serie
+∞

(arctan
n=1

1
1
− arctan
)
n
n+1

3. Hallar si la siguiente serie converge y si es as´ı calcule su suma
+∞

n=0

4n + 5n
6n

4. Expresar el decimal peri´odico 5.232323... como la raz´on de dos enteros.
5. Determine la f´ormula para la n-´esima suma parcial de cada serie y u
´sela
para hallar la suma de la serie si ´esta converge.
a)
2+
b)
1−
c)

22
2
2
+ +
+ ... + n−1 + ...
3 9 27
3

1 1 1
1
+ − + ... + (−1)n+1 n−1 + ...
2 4 8
2

1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ...
2·3 3·4 4·5
(n + 1)(n + 2)

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5

DEFINICION 0.3 (Serie Arm´
onica). La Serie
1 1 1
1 + + + + ... =
2 3 4
es llamada Arm´
onica.

∞

n=1

1
n

1
= 0 pero
n−→∞ n

∞

Tiene las siguientes propiedades : l´ım

n=1

1
es divergente.
n

Criterios deConvergencia Para series de T´
erminos positivos
+∞

TEOREMA 0.3 (Criterio de la Raz´
on). Sea

an una serie con t´ermin=1

nos positivos y suponga que
l´ım

n−→∞

an+1
=p
an

entonces :
i)La Serie Converge si p < 1
ii)La Serie diverge si p > 1 ´o es infinito .Si p = 1 no se dice nada.
Ejercicios : Investigue la convergencia de las siguientes series.
∞

1.
n=1
∞

2.
n=1
∞

3.
n=1
∞

4.
n=1
∞

5.
n=1

n2...