Guia de Teorema de Pitagoras

TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la sumade los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas



El Teorema de Pitágoras es un caso particular del Teorema del coseno. Designacionesconvencionales

Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices



Lados(como segmento)



Lados(como longitud)



Ángulos



Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área delcuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentrodel cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Ya que  .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b queestán dentro de él más el área del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea eltriángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. Enconsecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.


De la semejanza entre ABC y BHC:
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área delcuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

Siañadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Ya que  .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área delos cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos:sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser...