Guia De Trabajo 4

Universidad de Valparaiso
Ingeniería Ambiental
Cálculo Diferencial e Integral
Guía de Trabajo 4
Cálculo de derivadas
Semana 5: del 6 al 12 de abril de 2015
Prof. Juan Carlos Morgado.
1. Mediante la de…nición de derivada, determina f 0 (x) si:
(a) f (x) = x3 + 4x

Solución: 3x2 + 4

2

(b) f (x) = tan (x)

Solución: sec2 (x)

(c) f (x) = cot (x)

Solución:

(d) f (x) = sec (x)

Solución: sec (x)tan (x)

2x

Solución: 2e2x

(e) f (x) = e

(f) f (x) = x4
2. Si f (x) =

p
3

csc2 (x)

x2 + 1

Solución: 2x 2x2

1

1 Calcule f 0 (0) y f 0 (1)

x3

Solución: f 0 (0) = 0; f 0 (1)@
3. Si f (x) = 14 x4

4 3
3x

2x2 + 16x

44

Determine todos los valores de x 2 IR tales que f 0 (x) = 0

Solución: x =

4. Hallar el valor de a 2 IR para que la siguiente función sea derivable en todo IR
f (x) =

a2 xx2 3x + 2

Solución: a =

5. Sea f (x) =

1

x 2
x>2

2a jaj

ax + b
x4 + x + 1

x<1
x 1

Encuentre todos los valores de a y b de modo que la función f(x) sea diferenciable
Solución: a = 5; b =

6. Sea f (x) =

2

e3ax (3x + 2)
8 sin (x) + b

x 0
x<0

Encontrar a y b de modo que f sea derivable en todo IR y calcule el valor de f 0 (x)
5
Solución: a =
y b=2
6
7. Calcula la derivada de f (x) = x21

Solución: f es derivable en IR

f 1g

2 jx

1j en todo IR

8. Si g (x) = ax2 + bx + c sin (x) + dx2 + ex + f cos (x) :
Determinar los valores de las constantes a; b; c; d; e; f tales que g (x) = x2 sin (x)
Solución: d =

1; b = f = 2; a = c = e = 0

2; x = 4

9. Calcular la derivada de las siguientes funciones
(a) f (x) = x5 4x4 + 1
Solución: x3 (5x 16)
4

5

(b) f (x) = (2x 3)
3 x + 3x2
7Solución: 1944x
2268x6 972x5

20x4

972x3 + 2160x2

p
3

x4 3x + 666
p
1
3
Solución:
4 x4 9x
3x

(c) f (x) =

(d) f (x) =

x3 x2
+ 3x 1
x

x4

Solución:

2

(x4 + 3x

(e) f (x) = x2 + x

4

1)

3

Solución:

4

6x + 2

(x + 5)

Solución: x3 (x + 1)
(f) f (x) = x2 + 2

x5 + 2x4 + 6x2

+

9x2 + 45x + 20

1
x5

1
8x13 + 48x11 + 96x9 + 64x7
x6

5

x2 1 p
5
+ x3 x2 + 1
x2 + 1
1 p
4x
5
+
Solución.
x3 13x2 +3
2
5x
(x2 + 1)

(g) f (x) =

(h) f (x) = ex + e3x

4

Solución: 4e4x e2x + 1
a

a

3

3e2x + 1

x

(i) f (x) = xa + ax + aa
a
x
a
Solución: aa xa 1 + ax+a ln2 a + ax +1 xa

1

(j) f (x) = ln x2 1
2x
Solución: 2
x
1
x2 1
x2 + 1
4x
Solución: 4
x
1

(k) f (x) = log

(l) f (x) = ln x2 ln4 (x)
1
Solución:
(2 ln (x) + 4)
x ln (x)

2

ln a

2160x + 810

(m) f (x) = xx
Solución: xx (ln (x) + 1)
3

(n)f (x) = 3x

5x
3

Solución: 3x

x2 + xx
5x

5x2 ln 3 + 3x4 ln 3

2x

5xx ln 3 + xx ln x + 3xx+2 ln 3 + xx

1
ln
(5)
(o) f (x) = x + 1
2x
Solución:
2

(ln 5) (x2

1
(ln 5
ln
+ 1) 5

1)

3

ex ln (x)
(p) f (x) = p
3
24x 5
3
3
3ex + 9x3 (ln x) ex
r
Solución:
3x

(q) f (x) =

1+x
1 x

Solución:

5

3

3

4x (ln 2 ln x) ex
24x
32

5x

5x

1
x

(r) f (x) = sin4 x ln

1

2x + ln

(x + 1)

x+1
x 1
x2

x2ln
1

x3
x+1
x3
x+1
x+1

sin3 x ln

3

Solución: 4 cos x ln

x
x+1

2x + ln

(s) f (x) = x2

1 log3 x2 1
x
ln 3 log3 x2 1 + 1
Solución: 2
ln 3

(t) f (x) = ln sincos(x) (x)
Solucion:

1
(cos 2x
2 sin x

(u) f (x) = arctan

1
x

Solución: 4x3 arctan

x+1
x 1

x4
1
x

ln (sin x) + ln (sin x) cos 2x + 1)

1
x2 + 1

arccos x2
x
arcsin( )
2
p
x
arccos x2
1 x4 + 2x arcsin
2
Solución:
p
p
2 x
4
arcsin
1x 4 x2
2

(v) f (x) =

3

p

4

x2

x3
x3
+ x ln
+3
x+1
x+1

10. Sea a; b; c 2 IR diferentes entre sí. Calcule f 0 (x)
(x a) (x b) (x a) (x c) (x
Si la función f (x) =
+
+
(c a) (c b)
(b a) (b c)
(a
00

c) (x
c) (a

b)
b)

0

11. Si y = sin (sin (x)) : Determine si : y + tan (x) y + y cos2 (x) = 0
r

12. Compruebe que: si y = ln

e2x e
e2x + e

2x
2x

!

entonces y 0 =

4
e4x

e

4x

13. Calcularla derivada de las siguientes funciones
(a) f (x) = sin x5 4x4
Solución: x3 cos x4 (x

4) (5x

16)

3

(b) f (x) = cos2 (tan (x))
Solución: 6 tan2 x cos tan3 x sin tan3 x

tan2 x + 1

(c) f (x) = csc3 (x sin (x))
cos (x sin x)
Solución: 3 4
(sin x + x cos x)
sin (x sin x)
(d) f (x) = sin (log (x))
1
Solución: cos (ln (x))
x
(e) f (x) = xtan(2 x)
Solución: xtan 2 x
3

(f) f (x) = 2sec(x

1

tan...