Guia De Trabajo 4
Ingeniería Ambiental
Cálculo Diferencial e Integral
Guía de Trabajo 4
Cálculo de derivadas
Semana 5: del 6 al 12 de abril de 2015
Prof. Juan Carlos Morgado.
1. Mediante la de…nición de derivada, determina f 0 (x) si:
(a) f (x) = x3 + 4x
Solución: 3x2 + 4
2
(b) f (x) = tan (x)
Solución: sec2 (x)
(c) f (x) = cot (x)
Solución:
(d) f (x) = sec (x)
Solución: sec (x)tan (x)
2x
Solución: 2e2x
(e) f (x) = e
(f) f (x) = x4
2. Si f (x) =
p
3
csc2 (x)
x2 + 1
Solución: 2x 2x2
1
1 Calcule f 0 (0) y f 0 (1)
x3
Solución: f 0 (0) = 0; f 0 (1)@
3. Si f (x) = 14 x4
4 3
3x
2x2 + 16x
44
Determine todos los valores de x 2 IR tales que f 0 (x) = 0
Solución: x =
4. Hallar el valor de a 2 IR para que la siguiente función sea derivable en todo IR
f (x) =
a2 xx2 3x + 2
Solución: a =
5. Sea f (x) =
1
x 2
x>2
2a jaj
ax + b
x4 + x + 1
x<1
x 1
Encuentre todos los valores de a y b de modo que la función f(x) sea diferenciable
Solución: a = 5; b =
6. Sea f (x) =
2
e3ax (3x + 2)
8 sin (x) + b
x 0
x<0
Encontrar a y b de modo que f sea derivable en todo IR y calcule el valor de f 0 (x)
5
Solución: a =
y b=2
6
7. Calcula la derivada de f (x) = x21
Solución: f es derivable en IR
f 1g
2 jx
1j en todo IR
8. Si g (x) = ax2 + bx + c sin (x) + dx2 + ex + f cos (x) :
Determinar los valores de las constantes a; b; c; d; e; f tales que g (x) = x2 sin (x)
Solución: d =
1; b = f = 2; a = c = e = 0
2; x = 4
9. Calcular la derivada de las siguientes funciones
(a) f (x) = x5 4x4 + 1
Solución: x3 (5x 16)
4
5
(b) f (x) = (2x 3)
3 x + 3x2
7Solución: 1944x
2268x6 972x5
20x4
972x3 + 2160x2
p
3
x4 3x + 666
p
1
3
Solución:
4 x4 9x
3x
(c) f (x) =
(d) f (x) =
x3 x2
+ 3x 1
x
x4
Solución:
2
(x4 + 3x
(e) f (x) = x2 + x
4
1)
3
Solución:
4
6x + 2
(x + 5)
Solución: x3 (x + 1)
(f) f (x) = x2 + 2
x5 + 2x4 + 6x2
+
9x2 + 45x + 20
1
x5
1
8x13 + 48x11 + 96x9 + 64x7
x6
5
x2 1 p
5
+ x3 x2 + 1
x2 + 1
1 p
4x
5
+
Solución.
x3 13x2 +3
2
5x
(x2 + 1)
(g) f (x) =
(h) f (x) = ex + e3x
4
Solución: 4e4x e2x + 1
a
a
3
3e2x + 1
x
(i) f (x) = xa + ax + aa
a
x
a
Solución: aa xa 1 + ax+a ln2 a + ax +1 xa
1
(j) f (x) = ln x2 1
2x
Solución: 2
x
1
x2 1
x2 + 1
4x
Solución: 4
x
1
(k) f (x) = log
(l) f (x) = ln x2 ln4 (x)
1
Solución:
(2 ln (x) + 4)
x ln (x)
2
ln a
2160x + 810
(m) f (x) = xx
Solución: xx (ln (x) + 1)
3
(n)f (x) = 3x
5x
3
Solución: 3x
x2 + xx
5x
5x2 ln 3 + 3x4 ln 3
2x
5xx ln 3 + xx ln x + 3xx+2 ln 3 + xx
1
ln
(5)
(o) f (x) = x + 1
2x
Solución:
2
(ln 5) (x2
1
(ln 5
ln
+ 1) 5
1)
3
ex ln (x)
(p) f (x) = p
3
24x 5
3
3
3ex + 9x3 (ln x) ex
r
Solución:
3x
(q) f (x) =
1+x
1 x
Solución:
5
3
3
4x (ln 2 ln x) ex
24x
32
5x
5x
1
x
(r) f (x) = sin4 x ln
1
2x + ln
(x + 1)
x+1
x 1
x2
x2ln
1
x3
x+1
x3
x+1
x+1
sin3 x ln
3
Solución: 4 cos x ln
x
x+1
2x + ln
(s) f (x) = x2
1 log3 x2 1
x
ln 3 log3 x2 1 + 1
Solución: 2
ln 3
(t) f (x) = ln sincos(x) (x)
Solucion:
1
(cos 2x
2 sin x
(u) f (x) = arctan
1
x
Solución: 4x3 arctan
x+1
x 1
x4
1
x
ln (sin x) + ln (sin x) cos 2x + 1)
1
x2 + 1
arccos x2
x
arcsin( )
2
p
x
arccos x2
1 x4 + 2x arcsin
2
Solución:
p
p
2 x
4
arcsin
1x 4 x2
2
(v) f (x) =
3
p
4
x2
x3
x3
+ x ln
+3
x+1
x+1
10. Sea a; b; c 2 IR diferentes entre sí. Calcule f 0 (x)
(x a) (x b) (x a) (x c) (x
Si la función f (x) =
+
+
(c a) (c b)
(b a) (b c)
(a
00
c) (x
c) (a
b)
b)
0
11. Si y = sin (sin (x)) : Determine si : y + tan (x) y + y cos2 (x) = 0
r
12. Compruebe que: si y = ln
e2x e
e2x + e
2x
2x
!
entonces y 0 =
4
e4x
e
4x
13. Calcularla derivada de las siguientes funciones
(a) f (x) = sin x5 4x4
Solución: x3 cos x4 (x
4) (5x
16)
3
(b) f (x) = cos2 (tan (x))
Solución: 6 tan2 x cos tan3 x sin tan3 x
tan2 x + 1
(c) f (x) = csc3 (x sin (x))
cos (x sin x)
Solución: 3 4
(sin x + x cos x)
sin (x sin x)
(d) f (x) = sin (log (x))
1
Solución: cos (ln (x))
x
(e) f (x) = xtan(2 x)
Solución: xtan 2 x
3
(f) f (x) = 2sec(x
1
tan...
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