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Guía Vectores.
Profesor. Jaime Carrasco M.
Un vector es un ente matemático que posee dirección sentido y magnitud.
La dirección se refiere a la posición del vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc.
El sentido señala la orientación: De arriba hacia abajo, de Norte a Sur etc.
La magnitud es tamaño del vector, es el valor numérico del mismo.

Representación gráfica de vectoresGráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.


Suma gráfica de vectores.


Con más de dos vectores:



Componentes de un vector

Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.
Parahallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.




Escrito matemáticamente



Luego:





Sea por lo tanto cada componente escrita de la siguiente forma:

Donde: Representa el módulo del vector“a”
Representan vectores unitarios para los ejes x,y,z respectivamente.

Operaciones con vectores
Suma de vectores:
Un vector que posee diferentes componentes se sumara a otro respetando estas componentes, es decir se sumaran los términos que correspondan al mismo grupo de pares ordenados.
Sumando dos vectores y sus proyecciones





Producto punto:
El producto o multiplicación devectores se puede realizar de la misma forma en que se resuelven los polinomios, pero respetando un par de reglas para los vectores unitarios.








Ejemplo: Sean los siguientes vectores:









El resultado es un escalar (NO VECTOR)

Módulo de un vector
El modulo representa el tamaño del vector, y es un escalar.
Matemáticamente se escribe:



Además se define el vectorunitario del vector A:




Producto Cruz
El producto cruz (X) es otro tipo de producto entre vectores, a diferencia del producto usual o punto su resultado es un vector.
Al igual que en el caso anterior existen reglas que se deben respetar.

Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz



Producto en sentido Horario es positivo, Producto en sentido anti-horario es negativoEjemplo:
Sean nuevamente los siguientes vectores:












Reordenando:






Ejemplo numérico









Una aplicación simple de vectores




El ciclo cardíaco puede representarse de forma simple con los siguientes vectores que aparecen de forma sucesiva en el tiempo:
VECTORES ELÉCTRICOS
El potencial que registra un electrodo depende de la variación en eltamaño, la geometría y la posición que ocupa sucesivamente la superficie que separa el área activa de la de reposo durante la despolarización y la repolarización. Durante la despolarización el área activa será negativa con respecto a la que aún está en reposo, es decir, que la excitación se propaga como un frente que lleva cargas positivas en la ”cabeza” y deja cargas negativas en la ”cola”. Estosdipolos pueden representarse mediante vectores que se dirigen hacia la parte positiva y cuya magnitud depende de la superficie libre del órgano que está despolarizada. Si este vector se proyecta sobre una línea de derivación el tamaño y polaridad de esta proyección corresponde a la amplitud y la polaridad de la onda que se registra en ese momento.
Para la proyección de los vectores en el plano,se supone que los miembros forman los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Einthoven) cuyo centro es ocupado por el corazón y cuyos lados constituyen las líneas de derivación Dl, Dll y Dlll. Se supone también que el cuerpo se comporta como un conductor homogéneo.

Proyecciones de un vector (flecha sombreada) sobre el triángulo de Einthoven y el sistema triaxial





Un...