guia de vectores

Cálculo vectorial
en el plano.

Cuaderno de ejercicios
MATEMÁTICAS JRM

SOLUCIONES

Índice de contenidos.
1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes.
• Puntos en el plano cartesiano. Coordenadas.
• Vectores en el plano cartesiano. Componentes.

2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.
• Concepto de módulo.
• Expresión analítica del módulo.

3. Operaciones con vectores y puntos.•
•
•
•

Opuesto. Producto por constantes
Suma. Diferencia. Combinaciones lineales.
Suma de un punto y un vector.
División de segmentos

4. Dependencia lineal de vectores. Bases.
•
•
•
•

5.

Paralelismo de vectores. Dependencia lineal.
Criterio analítico para la dependencia.
Bases. La base canónica.
Componentes en una base.

Producto escalar de dos vectores.
• Producto escalar. Expresión analítica.Ángulos.
• Propiedades algebraicas. Relación con el módulo.
• Perpendicularidad. Criterio analítico.

Cálculo vectorial en el plano.

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RESUMEN DE OBJETIVOS
1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes.

•

Conocer la relación entre las componentes de un vector fijo
ሬሬሬሬሬԦ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ y las coordenadas de sus extremos ‫ܣ‬ሺܽଵ , ܽଶ ሻ y
‫ܤܣ‬
‫ܤ‬ሺܾଵ , ܾଶ ሻ

•

Conocer el concepto de vectoresequipolentes e interpretar y
representar adecuadamente un vector libre ‫ݑ‬
ሬԦሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ

•

Conocer el concepto de pendiente de un vector, fijo o libre, y su
relación con las componentes del mismo:
ሬԦሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ =
Pendiente de ‫ݑ‬

௬
௫

2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.

•

Conocer el concepto de módulo de un vector y su relación con la
distancia entre los puntos extremos delvector:
ሬሬሬሬሬԦฮ ൌ ݀ሺ‫ܣ‬, ‫ܤ‬ሻ
ฮ‫ܤܣ‬

•

Conocer la expresión analítica del módulo del vector ‫ݑ‬
ሬԦሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ,
derivada del teorema de Pitágoras:
ԡ‫ݑ‬
ሬԦԡ ൌ ඥ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ

3. Operaciones con vectores y puntos.

Cálculo vectorial en el plano.

•

Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente:
o El opuesto de un vector.
o El producto de un vector por un número.
o La suma o diferencia de dos omás vectores.
o Las diferentes combinaciones lineales de vectores.

•

Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente:
• La suma de un punto y un vector.
• El punto medio de dos puntos.
• Los puntos que dividen un segmento.

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4. Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases.

•

Conocer el concepto, geométrico y analítico de vectores
dependientes:
‫ݑ‬
ሬԦ | | ‫ݒ‬Ԧ ՞ ‫ݑ‬
ሬԦൌ ݇ ൉ ‫ݒ‬Ԧ

•

Conocer y utilizar adecuadamente el criterio analítico para la
dependencia lineal de dos vectores ‫ݑ‬
ሬԦሺ ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ ሻ y ‫ݒ‬Ԧሺ ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ሻ
‫ݑ‬ଵ
‫ݑ‬
ሬԦ | | ‫ݒ‬Ԧ ՞ ቚ‫ݒ‬
ଵ

‫ݑ‬ଶ
‫ݒ‬ଶ ቚ ൌ 0

•

Conocer el concepto de base ሼ‫ݑ‬
ሬԦ , ‫ݒ‬Ԧሽ y saber calcular las
componentes de cualquier vector ‫ݓ‬
ሬሬԦ en una base ሼ‫ݑ‬
ሬԦ , ‫ݒ‬Ԧሽ.

•

Conocer y saber representar la base canónica ሼଓԦ , ଔԦሽen
cualquier sistema de ejes cartesianos.

5. Producto escalar de dos vectores. Ángulo y perpendicularidad.
•

Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la definición del
producto escalar de dos vectores, para el cálculo de ángulos.
‫ݑ‬
ሬԦ ൉ ‫ݒ‬Ԧ ൌ ԡ‫ݑ‬
ሬԦԡ ൉ ԡ‫ݒ‬Ԧԡ ൉ cos ሺ‫ן‬ሻ

•

Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la expresión
analítica del producto escalar de dos vectores ‫ݑ‬
ሬԦሺ ‫ݑ‬ଵ ,‫ݑ‬ଶ ሻ y
‫ݒ‬Ԧሺ ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ሻ , expresados en la base canónica ሼଓԦ , ଔԦሽ
‫ݑ‬
ሬԦ ൉ ‫ݒ‬Ԧ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൉ ‫ݒ‬ଵ ൅ ‫ݑ‬ଶ ൉ ‫ݒ‬ଶ

•

Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la relación entre el
producto escalar y el módulo de un vector:
‫ݑ‬
ሬԦ ൉ ‫ݑ‬
ሬԦ ൌ ԡ‫ݑ‬
ሬԦԡଶ

•

Conocer las propiedades algebraicas del producto escalar y
su relación con las combinaciones lineales de vectores:
Conmutativas, asociativas ydistributivas:
‫ݑ‬
ሬԦ ൉ ሺ݉‫ݒ‬Ԧ ൅ ݊‫ݓ‬
ሬሬԦሻ ൌ ݉ሺ‫ݑ‬
ሬԦ ൉ ‫ݒ‬Ԧሻ ൅ ݊ሺ‫ݑ‬
ሬԦ ൉ ‫ݓ‬
ሬሬԦሻ

•

Conocer la relación entre el producto escalar y la
perpendicularidad entre vectores y utilizarla adecuadamente
para resolver problemas de perpendicularidad:
‫ݑ‬
ሬԦ ٣ ‫ݒ‬Ԧ

Cálculo vectorial en el plano.

՞ ‫ݑ‬
ሬԦ ൉ ‫ݒ‬Ԧ ൌ 0

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1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes.
Ejercicio 1.

ሬሬሬሬሬԦ y...