Guia Del Profesor Cortina Vectores

1. Vectores
Introducción teórica
Dos notaciones generalmente usadas para vectores son:

A = a) +aJ +a,k = (ax,ay,a,)
S = b) + b.] + b}, = (bx,by!b,)
Conocidos estos dos vectores encontraremos:

l. Suma: La suma de dos vectores corresponde a otro vector y por tanto se puede escribir
Los métodos para hallar ese vector suma son los siguientes:
a) Método gráfico.
Para ilustrar este método es mejorver un
ejemplo(figura-l). Se toman dos vectores en
dos dimensiones: A = (-3,1) Y S = (0,2) Y
se suman; para ello se grafican los vectores A
y S a escala sobre un sistema de coordenadas;
luego se construye un paralelograrno usando
como lado los vectores representados como se
indica con las lineas punteadas en la figura-l.
El vector que une el origen con la intersección
de las rectas punteadas es elvector resultante
o suma A + Por lo complicado del método,
sólo es recomendable usarlo para visualizar
problemas, para lo cual no es necesario usar la
escala

s.

e = A + s.
y

3
".

".

......

2

1

--t-----t-----1t--~'\--:~x

-3

-2

-1

Figura-I

b) Método analítico:
Este método consiste en sumar los vectores componente a componente (componentes x con
componentes x, etc.); por ejemplo para losvectores del ejemplo anterior se tiene que A + S se
obtiene de la siguiente manera;
Se suman las componentes x de ambos vectores:
ax+bx = -3+0=-3
lo mismo para las componentes y
ay

+ by = 1 + 2 = 3

y se obtiene
el cual es igual al vector obtenido con el método anterior.
En general
y también

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~
Para el caso de más de dos vectores, se procede enforma análoga con ambos métodos, como
s: ilustr,: en el ejemplo siguiente. Sean los vectores a = (1, 1), b = (-1,1) Y é = (O, 1). Hallar
d = a + b + é, sumando componente a componente.
d, = a, + b, + e, = 1 - 1 + O = O
d,

= ay + b, + c = 1 + l + l = 3
y

de modo que:
El orden en que se suman los vectores no altera el vector resultante, ya que la suma de vectores
es conmutativa y también esasociativa, o sea:

A+S=S+A
(A+S)+C=A+(S+C)
2. Diferencia
La diferencia de dos vectores es un vector, y se escribe C = S completamente equivalente a sumar un vector -A y S; por tanto

A.

Se observa que la diferencia es

s

a) Método gráfico.
Se usa de nuevo el ejemplo dado para el caso
de la suma Se tiene A = (-3,1) Y S = (0,2).
Se quiere hallar C = S - A. En igual forma se
procede a graficar losvectores S y A, luego se
halla el vector (-A), y se le suma a S, como
antes. El vector resultante correspondiente a

C=B-A.

Figura-2

b) Método analítico.
Este método consiste en restar componente a componente los dos vectores, por ejemplo:
Se tienen dos vectores A = (-3, 1) Y S = (0,2), Y se tiene que hallar C = S - A, entonces se
realiza lo siguiente:
bx-ax=0-(-3)=3
by - ay = 2 - 1 = l
de maneraque

3. Descomposición de un vector en sus componentes Un vector se puede especificar de varias formas,
una de ellas, ya vista, es dar el valor de sus componentes; la otra consiste en dar la magnitud, y
además su dirección y sentido que suelen estar dadas por uno o más ángulos. Consideraremos, en el
caso de dos dimensiones, al vector A, dado por:
Magnitud IAI = 8, Ángulo con respecto al eje x e =30°. Ahora se procede a hallar sus componentes,
para poder escribirlo en forma analítica. Estas estarán dadas por:

a. = Acose = 8cos30° =
a, = A sen e

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= 8 sen 30° = 4

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y
~
A
A=
30°
x
figura-3

y

Veamos ahora el caso inverso, se tiene el vector
dado en componentes y se desea expresarlo en la
forma gráfica. Sea el vector A = 31- 5}, como se
veen la figura-4. Se halla primero la magnitud de
A. Se ve que A, junto con las componentes a; y ay,
forman un triángulo rectángulo, de modo que por
teorema de Pitágoras A2 = a; +a:, o sea,

.A

3

Axi

donde a, y ll¡" son las proyecciones de A sobre
los ejes x e y respectivamente, es decir, sus componentes. En tres dimensiones se da su magnitud
y tres ángulos(uno respecto a cada eje), de modo...